On a group of entire transcendental functions. (Q1502593)

Die Abhandlung bezweckt die Lösung zahlentheoretischer Aufgaben mittels analytischer Funktionen. In dieser Absicht betrachtet der Verf. das Integral \[ S(z) - \frac1{2\pi i} \int \frac{F(s)ds}{s^z} - a_1, \] wo \(F(s)\) eine analytische Funktion ist, welche innerhalb eines gegebenen Bereiches holomorph ist. Die Integration wird über die Peripherie eines Kreises erstreckt, der den Anfangspunkt umschließt und in dem der genannte Bereich liegt. \(F(s)\) erfüllt außerdem mehrere Bedingungen; namentlich sind alle Koeffizienten in der Potenzentwicklung positive reelle Zahlen, von denen keine kleiner als der Koeffizient \(a_1\) von \(s\) ist. Diese Funktion \(S(z)\), die selbst analytisch ist, hat mehrere interessante Eigenschaften. Die wesentlichste ist, daß die Anzahl ihrer reellen Nullstellen gleich der Anzahl der Koeffizienten in der Potenzentwicklung von \(S(z)\) ist, die gleich \(a_1\) sind. Hat man \(a_n - a_1\), so ist \(S(n + 1) - 0\). Das Geschlecht von \(S(z)\) ist gleich Eins. Der Beweis für diesen letzten Satz stützt sich auf die Verteilung der imaginären Nullstellen von \(S(z)\), die sehr genau untersucht wird. Die allgemeinen Eigenschaften von \(S(z)\) werden im ersten Abschnitt der Abhandlung entwickelt. In einem zweiten Abschnitt wird die Theorie der Funktion \(S(z)\) auf die Lösung zahlentheoretischer Aufgaben angewendet. Zuerst wird die Lösung des Riemannschen Primzahlproblems behandelt. Man setzt hier \[ F(s) - s + \sum_{n-1}^{n-\infty} \frac{s^n}{1-s^n} \] (die Lambertsche Reihe). Dann hat die Funktion \[ S(z) - \frac1{2\pi i} \int \frac{F(s)ds}{s^z} - 2 \] alle Primzahlen zu Nullstellen und hat keine anderen reellen Nullstellen. Der Integrationsweg ist ein Kreis mit dem Radius \(e^{-2\pi}\). Man hat dann den folgenden Ausdruck für die Menge der Primzahlen, welche kleiner als \(x\) sind: \[ N(x) - \frac1{2\pi i} \int \frac{S'(z)}{S(z)}dz - 1, \] wo \(x\) nicht selbst eine Primzahl ist, und wo der Integrationsweg ein Stück der Achse der reellen Zahlen gleich \(x\) und keine komplexen Nullstellen umfassen muß. Zum Schluß gibt der Verf. eine analytische Formulierung des Goldbachschen Postulats, daß es unendlich viele Primzahlen gibt, deren Differenz zwei ist.