New foundations of arithmetic. (Q1502603)

Der Verf. führt eine neue Art von Zahlgebilden in die Arithmetik ein, welche sich in ähnlicher Weise aus den Potenzen einer Primzahl \(p\) zusammensetzen wie die Dezimalbrüche aus den Potenzen von \(\frac1{10}\). Eine ganze Zahl der Form \[ A_r - a_\alpha p^\alpha + a_{\alpha+1}p^{\alpha+1} +\cdots+ a_rp^r, \] worin \(a_\alpha\), \(a_{\alpha+1}\), ..., \(a_r\) Zahlen der Reihe 0, 1, 2, ..., \(p-1\) bedeuten, wird nämlich als ``Näherungswert'' einer ins Unendliche fortgesetzten Summe \[ \overline A - a_\alpha p^\alpha + a_{\alpha+1}p^{\alpha+1} +\cdots \] aufgefaßt; bricht man eine solche Summe nach dem Gliede mit \(p^r\) ab, so kann in allen Kongruenzen nach dem Modul \(p^r\) der Näherungswert \(A_r\) für jeden anderen mit höherem Index \(A_{r+1}\), \(A_{r+2}\), ... eintreten, so daß, so lange es sich bloß um eine Genauigkeit bis auf Vielfache von \(p^r\) handelt, die unendliche Reihe \(\overline A\) vollständig durch \(A_r\) ersetzt werden kann. Zwei solche Zahlgebilde \(\overline A\) und \(\overline B\) können in eindeutig bestimmter Weise zu einander addiert, subtrahiert und multipliziert werden, und es ist auch die Division ausführbar, falls man auch solche Zahlen \[ \overline A - a_\alpha p^\alpha + a_{\alpha+1}p^{\alpha+1} +\cdots \] in den Bereich aufnimmt, deren Ordnungszahlen \(\alpha\) negativ sind. Die Gesamtheit dieser Zahlgebilde bildet daher einen Körper, welcher mit \(K(p)\) bezeichnet wird, und dessen Elemente ganz oder gebrochen sind, je nachdem die Ordnungszahl \(\alpha\) positiv (resp. Null) oder negativ ist. Stellt man diesem Körper den Körper \(K(1)\) aller gewöhnlichen positiven oder negativen, ganzen oder gebrochenen Zahlen gegenüber, so entspricht jeder Zahl des zweiten Körpers entweder eine endliche oder eine periodische Zahl des ersten, und umgekehrt ist jede endliche oder periodische Zahl von \(K(p)\) gleich einer Zahl von \(K(1)\). Der Körper \(K(p)\) enthält aber auch Zahlgebilde, die nicht in \(K(1)\) gelegen sind, und folglich ist der zweite Körper ein Teilkörper des ersten. Es werden nun ganze Funktionen von \(x\): \[ f(x) - A_0x^n + A_1x^{n-1} +\cdots+ A_n \] betrachtet, deren Koeffizienten Zahlen des Körpers \(K(p)\) sind, und auf diese die gewöhnlichen Gesetze der Teilbarkeit und der Resultantenbildung übertragen. Insbesondere gilt der Satz: Wenn die Eliminationsresultante zweier ganzen ganzzahligen Funktionen \(f(x)\) und \(g(x)\) von den Graden \(\mu\) und \(\nu\), genau durch \(p^\varrho\) teilbar ist, so kann jede Funktion, deren Grad kleiner als \(\mu+\nu\) und deren Zahlenteiler \(p^r\) gleich oder größer als \(p^\varrho\) ist, im Bereiche von \(p\) in der Form dargestellt werden: \[ F(x) - f(x)G_1(x) + g(x)F_1(x), \] worin die Grade der komplementaren Multiplikatoren \(F_1(x)\) und \(G_1(x)\) kleiner als \(\mu\) und \(\nu\) und ihre Zahlenteiler mindestens \(p^{r-\varrho}\) sind. Mit Hülfe dieses Satzes läßt sich alsdann der Fundamentalsatz dieser Theorie erweisen, daß jede ganze ganzzahlige Funktion auf eine und nur eine Weise in irreduktible Faktoren zerlegt werden kann.