On a new foundation of the theory of algebraic numbers. (Q1502604)

Die Abhandlung entwickelt die Idealtheorie der algebraischen Zahlkörper auf der Grundlage der arithmetischen Sätze der Arbeit, über welche im vorstehenden referiert wurde. Ebenso wie zuvor der Bereich \(K(1)\) der rationalen Zahlen erweitert wurde zu dem Bereiche \(K(p)\) der Zahlen, welche nach ganzen steigenden Potenzen der Primzahl \(p\) sich entwickeln lassen, ebenso läßt sich der Bereich \(K(\alpha,1)\) der Zahlen, welche rationale Funktionen der algebraischen Zahl \(\alpha\) mit ganzzahligen Koeffizienten sind, erweitern zu dem Bereiche \(K(\alpha,p)\) aller Zahlengrößen der Form \[ e_0 + e_1\alpha + e_2\alpha^2 +\cdots+ e_{n-1}\alpha^{n-1}, \] worin \(e_0\), \(e_1\), ..., \(e_{n-1}\) dem Bereiche \(K(p)\) angehören. Wenn nun die irreduktible Gleichung, der die Zahl \(\alpha\) genügt: \[ f(x) - x^n + a_1x^{n-1} +\cdots+ a_n - 0, \] auch im Bereiche \(K(p)\) unzerlegbar bleibt, so kann man zunächst in \(K(\alpha,p)\) eine Zahl \(\pi\) auswählen, welche zu \(p\) nicht relativ prim ist, deren Norm aber eine möglichst niedrige Potenz von \(p\) als Faktor enthält, ist diese Potenz \(p^f\), so ist \(f\) ein Teiler von \(n\), und es läßt sich jede Zahl \(\gamma\) des Bereiches \(K(\alpha,p)\) in der Form darstellen: \[ \gamma - \varepsilon^{(r)}\pi^r + \varepsilon^{(r+1)}\pi^{r+1} +\cdots, \] worin \[ \varepsilon^{(i)} - c_0 + c_1\varepsilon +\cdots+ c_{f- 1}\varepsilon^{f-1}\qquad (c_0,c_1,\dots - 0, 1,\dots,p - 1) \] und \(\varepsilon\) eine primitive Einheit, d. h. Wurzel einer irreduktiblen Kongruenz \(f\)-ten Grades ist. Ist \(e - n/f\) der Komplementarfaktor von \(f\), so ist in diesem Falle \(p\) \(e\)-te Potenz des in der Zahl \(\pi\) enthaltenen Primideales, und aus der vorher gegebenen Reihenentwicklung von \(\gamma\) entspringen im ganzen \(n - ef\) konjugierte Reihen, da \(\pi\) Wurzel einer Kongruenz des Grades \(e\), \(\varepsilon\) aber Wurzel einer Kongruenz vom Grade \(f\) ist. Tritt aber der allgemeinere Fall ein, daß \(f(x)\) im Bereiche \(K(p)\) in mehrere irreduktible Faktoren zerfällt, so ist die Anzahl der in \(p\) aufgehenden verschiedenen Primideale gleich der Anzahl der irreduktiblen Faktoren der Grundgleichung, und jedem von diesen entspricht ein Zyklus von so vielen Reihenentwicklungen, als der Grad des betreffenden Faktors angibt. Man kann daher den Gaußschen Fundamentalsatz der Algebra folgendermaßen erweitern: Jede Gleichung \(n\)-ten Grades besitzt für den Bereich jeder Primzahl \(n\) Wurzeln, deren jede eine Potenzreihe in einem Bereiche \(K(\varepsilon,\pi)\) ist. Hierin ist \(\varepsilon\) Wurzel einer irreduktiblen Gleichung \(f\)-ten Grades, \(\pi\) aber genügt einer irreduktiblen Gleichung \(e\)-ten Grades der Form \[ \psi(\pi) - \pi^e + pc_{e-1}\pi^{e-1} +\cdots+ pc_0, \] wobei die \(c_i\) ganze Zahlen von \(K(\varepsilon)\) sind und \(c_0\) durch \(p\) nicht teilbar ist.