A general theorem concerning absolutely convergent series. (Q1502677)

\(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\), ..., \(\alpha'\), \(\beta'\), \(\gamma'\), ... bedeuten Zahlen der ersten und zweiten Cantorschen Klasse 0, 1, 2, ..., \(\omega\), \(\omega+1\), ..., \(\omega\cdot2\), ..., \(\omega^2\), ..., \(\omega^\omega\), ... . Die gewöhnliche einfach unendliche Reihe ist vom Typus \(\omega\). Da die Klasse der Zahlen \(<\beta\) abzählbar ist, so kann man eine unendliche abzählbare Menge von Gliedern vom Typus \(\beta\) bilden. Es wird eine Reihe vom Typus \(\beta\) vorausgesetzt und zunächst angenommen, daß die Glieder \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\), ..., \(u_\omega\), ..., \(u_{\omega\cdot2}\), ..., \(u_{\omega^2}\), ..., \(u_{\omega^\omega}\), ... \(\geq0\) sind, dann konvergiert \(s_n = u_0+u_1+\cdots+ u_{n-1} = \sum\limits_{\gamma<\eta} u_\gamma\) für \(n=\infty\) gegen eine Grenze, welche durch \(s_\omega\) oder \(\sum\limits_{\gamma<\eta} u_\gamma\) bezeichnet wird und möglicherweise gleich \(\infty\) ist. Ist \(s_\omega\) endlich, so hat \[ s_{\omega+n} = s_\omega + u_\omega +\cdots+ u_{\omega+n-1} \] für \(n=\infty\) eine Grenze, die durch \(s_{\omega\cdot2}\) bezeichnet wird und möglicherweise \(\infty\) sein kann. Demgemäß kann \(s_{\omega\cdot n}\) für einen beliebigen Wert von \(n\) erklärt werden, und es ist \(s_\omega\leq s_{\omega\cdot2}\leq s_{\omega\cdot3}\), ..., so daß \(\lim\limits_{n=\infty}s_{\omega\cdot n}\) bestimmt ist; es wird durch \(s_{\omega^2}\) bezeichnet. In dieser Weise kann \(s_\alpha\) für alle Werte von \(\alpha\leq\beta\) erklärt werden, die Summe der Reihe wird durch \(s_\beta\) bezeichnet. Ist ein \(s_\alpha=\infty\), so wird festgesetzt, daß \[ s_{\alpha'} = \infty(\alpha\leq \alpha'\leq \beta) \] sein soll, dann heißt die Reihe divergent. Wenn \(s_\beta\) endlich ist, heißt die Reihe konvergent vom Typus \(\beta\), und es wird geschrieben \[ s_\beta = \sum_{\gamma<\beta} u_\gamma. \] Dann gilt der folgende Satz, der eine Anzahl bekannter Sätze als Spezialfälle enthält: Wenn eine Reihe absolut konvergent vom Typus \(\beta\) ist, so bleibt sie absolut konvergent, wenn ihre Glieder nach einem anderen Typus \(\beta'\) geordnet werden, und die Summe ist für beide Typen dieselbe.