Note in addition to a former paper on conditionally convergent multiple series. (Q1502690)

(Auch JFM 35.0254.04) Wird \[ s_{m_1,m_2,\dots,m_n} = \sum_{i_1=0}^{m_1} \sum_{i_2=0}^{m_2}\dots \sum_{i_n=0}^{m_n} a_{i_1,i_2,\dots,i_n} \] gesetzt, so soll \[ \sum_{(1,2,\dots,p)(p+1,\dots,q)\dots (r+1,\dots,n)}a \] das Ergebnis bedeuten, wenn die Zeiger \(m_1,m_2,\dots,m_n\) gruppenweise (von rechts nach links) unendlich werden, d. h. so daß zuerst die Zeiger \(m_{r+1},\dots,m_n\) gleichzeitig unendlich werden, dann die Zeiger der vorhergehenden Gruppe, ..., dann die Zeiger \(m_{p+1},\dots,m_q\) und schließlich die Zeiger der Gruppe \(m_1,m_2,\dots,m_p\) unendlich werden. So bezeichnet \(\sum\limits_{(1,2)}a\) die Doppelreihe im Pringsheimschen Sinne, während \(\sum\limits_{(1)(2)} a\) bedeutet, daß zuerst die Summation in bezug auf den rechts stehenden Zeiger ausgeführt werden soll. Das Entsprechende gilt für die Grenzwerte \[ \sum_{(1,2)}a = \lim_{(1,2)}s,\quad \sum_{(1)(2)}a = \lim_{(1)(2)}s. \] Ebenso bedeutet \(\sum\limits_{\overline{(1,2)}}a\) die obere Unbestimmtheitsgrenze von \(s_{i_1,i_2}\), wenn \(i_1\), \(i_2\) gleichzeitig unendlich werden, während \(\sum\limits_{\overline{(1)}\underline{(2)}}\) die obere Unbestimmtheitsgrenze für \(i_1 = \infty\) von der unteren Unbestimmtheitsgrenze für \(i_2 = \infty\) bedeutet. Ist die einfache Reihe \(\sum a_i\) konvergent, so gibt es eine Konstante \(C\) von der Art, daß \(|s_i| < C\) für alle Werte von \(i\) ist Hierfür wird die Bezeichnung eingeführt: ``Eine solche konvergente Reihe genügt der Endlichkeitsbedingung.'' --- Entsprechend für die mehrfache Reihe: Wenn für alle Werte von \(m_1,m_2,\dots,m_n\) \(|s_{m_1,m_2,\dots,m_n}| > C\) ist, so ``genügt \(\sum\limits_{(1,2,\dots,n)}a\) der Endlichkeitsbedingung.'' --- Dann gilt der Satz: Wenn die Endlichkeitsbedingung erfüllt und \[ \sum_{(1,2,\dots,p)(p+1,\dots,q)\dots (r+1,\dots,n)}a \] konvergent ist, so ist \(\sum ax_1^{i_1} x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}\) absolut konvergent für alle Werte von \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\), deren absolute Beträge kleiner als 1 sind, und wenn die durch die Reihe dargestellte Funktion \(f(x_1, x_2,\dots,x_n)\) ist, so ist \[ \lim_{(1,2,\dots,p)(p+1,\dots,q)\dots (r+1,\dots,n)}f \] bestimmt und gleich der Summe der Reihe. Wenn die drei Reihen \(\sum a_{i_1,i_2,\dots,i_n}\), \(\sum b_{i_1,i_2,\dots,i_n}\) und \(\sum c_{i_1,i_2,\dots,i_n}\), wo die \[ c_{i_1,i_2,\dots,i_n} = \sum_{(k_1+l_1=i_1,\dots, k_n+l_n=i_n)} a_{k_1,\dots,k_n} b_{l_1,\dots,l_n} \] der Endlichkeitsbedingung genügen und konvergent sind, wenn sie in der durch \[ \lim_{(1,2,\dots,p)(p+1,\dots,q)\dots (r+1,\dots,n)} \] bezeichneten Ordnung summiert werden, so ist die dritte Reihe das Produkt der beiden ersten. Erweiterung der Froheniusschen und Hölderschen Sätze über das arithmetische Mittel \((s_0 + s_1 +\cdots+ s_n)/(n+1)\) auf mehrfache Reihen. In einer früheren Arbeit hatte Hardy die Konvergenz einer Klasse \(n\)-facher Reihen von der Form \[ \sum \frac{{\cos\atop\sin}(i_1\theta_1 + i_2\theta_2 +\cdots+ i_n\theta_n)}{(i_1a_1 + i_2a_2 +\cdots+ i_na_n)^\varrho} \] bewiesen, worin die Größen \(a_1,a_2,\dots,a_n,\varrho\) reell und positiv sind und keine der Größen \(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n\) ein Vielfaches von \(2\pi\) ist. Die Summationsordnung ist nach den obigen Festsetzungen durch \(\sum\limits_{(1,2,\dots,n)}\) zu bezeichnen. In der Note wird gezeigt, daß derartige Reihen auch konvergent sind, wenn die Summationsordnung die durch \[ \sum_{(1,2,\dots,p)(p+1,\dots,q)\dots (r+1,\dots,n)} \] bezeichnete ist, und zwar mittels des Satzes: Die Größe \[ \lim_{\overline{(1,2,\dots,n)}}s_{i_1,i_2,\dots,i_n} \] wächst nicht und die Größe \[ \lim_{\underline{(1,2,\dots,n)}}s_{i_1,i_2,\dots,i_n} \] nimmt nicht ab, wenn die eine Klammer \((1, 2,\dots, n)\) durch ein System von Klammern ersetzt wird.