Sur quelques transformations d'une série de puissances. (Q1502693)

Die Funktion \(f(x)\) sei in der Umgebung des Punktes \(x = 0\) holomorph, und der Konvergenzradius ihrer Potenzreihe sei gleich \(r\), dann ist \[ f(x)/\sqrt{1-x^2} = a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots,\quad |x| < \varrho,\tag{1} \] wo \(\varrho\) die kleinere der beiden positiven Zahlen 1 und \(r\) bezeichnet \[ f\left(\frac{2z}{1+z^2}\right) = a_0 + b_1z + b_2z^2 +\cdots,\quad |z| < P,\tag{1}\;bis \] dann gilt: I. Definiert man mittels (1) und (1 bis) die Koeffizienten \(a_s\) und \(b_s\), so besteht die Identität: \[ \sum_{s=1}^\infty \frac{a_s}s\left(\frac{2x}{1+x^2}\right)^s - a_0\log(1-x^2) = \sum_{s=1}^\infty \frac{b_s}s x^s;\tag{3} \] sie liefert die analytische Fortsetzung der auf der rechten Seite befindlichen, für hinreichend kleine Werte von \(|x|\) konvergierenden Potenzreihe. --- Die Funktion \(g(x)\) sei in der Umgebung des Punktes \(x = 0\) holomorph, und der Konvergenzradius ihrer Potenzreihe sei gleich \(r\), dann ist \[ g(x)/(1+x^2) = c_0 + c_1x + c_2x^2 +\cdots,\quad |x| < \varrho,\tag{4} \] \[ g\left(\frac{z}{\sqrt{1-z^2}}\right) = d_0 + d_1z + d_2z^2 +\cdots,\quad |z| < P_1,\tag{4}\;bis \] dann gilt: II. Definiert man mittels (4) und (4 bis) die Koeffizienten \(c_s\) und \(d_s\), so besteht die Identität \[ \sum_{s=1}^\infty \frac{c_s}s\left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)^s - c_0\log(\sqrt{1-x^2)} = \sum_{s=1}^\infty \frac{d_s}s x^s;\tag{5} \] sie liefert die analytische Fortsetzung der auf der rechten Seite stehenden, für hinreichend kleine Werte von \(|x|\) konvergierenden Potenzreihe. Die Funktion \(F(z) = f\left(\frac{2z}{1+z^2}\right)\) ist holomorph in dem Teil \(\mathfrak P(r)\) der \(z\)-Ebene, der alle Punkte enthält, für die \(\left|\frac{2z}{1+r^2}\right|<r\) ist, oder in allen Punkten, die man erhalten kann, indem man von \(z = 0\) ausgeht und einen geschlossenen Weg verfolgt, der die Kurve \(C(r)\) \[ (x^2+y^2)^2 - 2ax^2 - 2(a+2)y^2 + 1 = 0\qquad \left(a = \frac2{r^2}-1\right) \] in einer geraden Zahl von Punkten schneidet. Dann gilt: Die Identität (3) gibt die analytische Fortsetzung der auf der rechten Seite stehenden Potenzreihe für den ganzen Bereich \(\mathfrak P(\varrho)\), wo \(\varrho\) der in (1) definierte Konvergenzradius ist, wenn ihr Konvergenzradius den Bedingungen \[ \sqrt{\frac1{r^2}+1} + \frac1r \leq P\leq \sqrt{\frac1{r^2}+1} - \frac1r \] genügen muß. Bezeichnen wir durch \(\mathfrak P_1(r)\) alle Punkte der \(z\)-Ebene, die man erhalten kann, indem man von \(z = 0\) ausgeht und einen geschlossenen Weg verfolgt, der die Kurve \(C_1(r)\) \[ (a-1)(x^2+y^2)^2 - 2a(x^2-y^2) + a = 0\qquad (a=r^4) \] In einer geraden Zahl von Punkten schneidet, dann gilt: Die Identität (5) gibt die analytische Fortsetzung der auf der rechten Seite befindlichen Potenzreihe, deren Konvergenzradius den Bedingungen \[ \sqrt{\left|\frac{r^4+r^2}{r^4-1}\right|} \geq P_1\geq \sqrt{\frac{r^4-r^2}{r^4-1}},\quad r\lessgtr1,\tag{9} \] \[ \varrho\geq \sqrt{\frac12},\quad r = 1\tag{9}\;bis \] genügen muß, für den ganzen Bereich \(\mathfrak P_1(\varrho)\), wo \(\varrho\) den in (4) definierten Konvergenzradius bedeutet. Auf \(f(x) = \frac{(\arcsin x)^n}{n!}\), \(g(x) = \frac{(\arctan x)^n}{n!}\) werden die Sätze angewandt.