Remarques relatives aux formules sommatoires d'Euler et de Boole. I. (Q1502697)

Der Verf. geht aus von der Formel \[ \left\{\begin{aligned} [\varphi^{(n-1)}(1) &- \varphi^{(n-1)}(0)] \sum_{j=0}^m f(a+jh)\\ &= \frac1h \sum_{j=0}^{m-1} \int_{a+jh}^{a+(j+1)h} f(x)\varphi^{(n)}\left(\frac{x+a-jh}h\right)dx\\ &+ \sum_{k=1}^n (-1)^k h^{k-1} [f^{(k-1)}(b)\varphi^{(n-k)}(0) - f^{(k-1)}(a)\varphi^{(n-k)}(1)]\\ &+ \sum_{k=2}^n (-1)^k h^{k-1} [\varphi^{(n-k)}(1) - \varphi^{(n-k)}(0)] \sum_{j=0}^m f^{(k-1)}(a+jh)\\ &+ (-1)^{n-1} h^n \int_0^1 \varphi(z) \sum_{j=0}^{m-1} f^{(n)}(a+jh+hz)dz,\end{aligned}\right.\tag{I} \] wo \(f(x)\), \(\varphi(x)\) zwei Funktionen mit \(n\) Ableitungen im Intervalle \((a\dots a+mh)\) bedeuten. Dieselbe ist der Kroneckerschen Formel analog und aus ihr ableitbar (Best. Integr. S. 148). Er betrachtet insbesondere den Fall, wenn \(\varphi(x)\) ein Polynom \(n\)-ten Grades ist. Wird dieses Polynom den Bedingungen: (a) \(\varphi^{(n-k)}(1) = \varphi^{(n-k)}(0)\) \((k = 2,3,\dots,n)\) unterworfen, so geht (I) in die Eulersche Summationsformel über, wie der Verf. kurz ausführt (Nr. 5-8). Wird dagegen das Polynom \(\varphi(x)\) den Bedingungen (b) \(\varphi^{(n-k)}(1) + \varphi^{(n-k)}(0) = 0\) \((k = 1,2,\dots,n)\) unterworfen, so geht (I) in die Formel von Boole über. Dieser Fall wird ausführlicher behandelt. Es werden die Eigenschaften der hier auftretenden Polynome untersucht, welche allerdings mit den Bernoullischen eng zusammenhängen: das Polynom \(\psi^n(z) = \sum\limits_{k=0}^n C_k \frac{z^{n-k}}{(n-k)!}\), welches die Gleichungen (b) befriedigt, wird durch die Bernoullischen \(\varphi_n(z)\) ausgedrückt in der Art: \[ \frac12[\psi_n(2z) - C_n] = \varphi_{n+1}(2z) - 2^{n+1}\varphi_{n+1}(z). \] Die Näherungsformeln für das Restglied der Booleschen Formel werden aufgestellt, doch geht der Verf. darauf nicht weiter ein und wendet sich zu den Anwendungen, welche den Hauptinhalt der Abhandlung bilden. Er beschränkt sich auf den Fall \(m=1\) der Booleschen Formel und zeigt erstens, daß mit ihrer Hülfe die Reihe \[ \sum_{k=0}^m \left[\frac1{(a+2k+1)^p} - \frac1{(a+2k+2)^p}\right] \] (auch die betr. unendliche Reihe) viel einfacher als mit Hülfe der Eulerschen Formel zu berechnen ist. Einige dabei abgeleitete Resultate werden auch ferner benutzt, indem noch \(h = 1\), \(f(x) = \frac d{dx}\log u(x)\) gesetzt wird, wo \(u(x) = \prod\limits_{k=0}^m \frac{(x + 2k + 1)^{(x+2k+1)^\lambda}}{(x+2k)^{(x+2k)^\lambda}}\). Hier werden die Formeln abgeleitet, welche denen von Stirling und von Gudermann (für \(\log\Gamma(x)\)) analog sind. Es erscheinen hier die Funktionen \(\alpha_\lambda(x)\), \(\beta_\lambda(x)\); ihre Eigenschaften untersucht der Verf. hauptsächlich für den Fall des geraden \(\lambda\). Sie hängen mit den von Beaupain (F. d. M. 33, 461, 1902, JFM 33.0461.01) betrachteten Kinkelinschen Funktionen höherer Ordnung und den gammamorphen Funktionen von Alexejewsky (F. d. M. 34, 490, 1903, JFM 34.0490.01) eng zusammen. Das weitere Studium dieser Funktionen wie die Betrachtung des Falles der ungeraden \(\lambda\) verspricht der Verf. in einer zweiten Abhandlung zu geben.