Sur la série de Lagrange et ses applications. (Q1502700)

I. Sind \(f(z)\), \(\varphi_1(z)\), \(\varphi_2(z)\), ..., \(\varphi_k(z)\) in einem von einem Umfang \(K\) begrenzten Bereiche holomorphe Funktionen und \(t\) ein innerer Punkt, so erhält man durch Anwendung der Lagrangeschen Reihe auf die durch die Gleichungen \[ \begin{aligned} u &= f(z),\quad z = t + xF(z),\\ F(z) &= \varphi_1(z) + x\varphi_2(z) + x^2\varphi_3(z) +\cdots+ x^{k-1}\varphi_k(z)\end{aligned} \] definierte Funktion eine Entwicklung von \(f(z)\). Sind \(M\) und \(M_1\) die größten Werte, die \(\Big|\frac{xF(z)}{z-t}\Big|\) und \(\Big|\frac{f(z)}{z-t}\Big| |1-xF'(z)|\) annehmen, wenn \(z\) den Umfang \(K\) beschreibt, so nimmt, wenn \(M<1\) ist, die Entwicklung die Form \[ f(z) = f(t) + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} \frac{d^{n-1}\{f'(t)[(Ft)]^n\}}{dt^{n-1}}\tag{I} \] an; sie ist gleichmässig konvergent in einem Bereiche \(B\), in dem die Werte von \(x\) der Bedingung genügen: \[ \Big|\frac{x\varphi_1(z) + x^2\varphi_2(z) +\cdots}{z-t}\Big| < 1.\tag{II} \] Die Glieder der Reihe (I) sind ganze Funktionen von \(x\). Weiter ergibt sich \[ \begin{multlined} f(z) = f(t)\\ + \sum_{n=1}^\infty x^n \sum{}' \frac1{\alpha!\beta!\dots\lambda!} \frac{d^{b-1}\{f'(t)[\varphi_1(t)]^\alpha [\varphi_2(t)]^\beta\dots [\varphi_k(t)]^\lambda\}}{dt^{b-1}},\end{multlined}\tag{III} \] wo die \(\sum'\) sich auf alle ganzzahligen, positiven und verschwindenden Lösungen der Gleichung \(\alpha + 2\beta + 3\gamma +\cdots+ k\lambda = n\) bezieht und \(b = \alpha + \beta + \gamma +\cdots+ \lambda\) ist. Dabei kann \(k\) unendlich werden, wenn die sich dadurch für die rechte Seite von \(F(z) = \varphi_1(z)+x\varphi_2(z)+\cdots+ x^{k-1}\varphi_k(z)\) ergebende Reihe eine holomorphe Funktion von \(x\) und \(z\) darstellt in dem \(z\) betreffenden Bereiche \(A\) und in dem \(x\) betreffenden Bereiche \(B\). II. Der Umriß des Bereiches \(A\) sei ein Kreis vom Radius \(R\) und dem Mittelpunkt \(t\), und es sei \[ z-t = \varrho(\cos\theta + i\sin\theta),\quad x = r(\cos\omega + i\sin\omega). \] Wenn einem gegebenen besonderen Werte \(\varrho\) ein anderer \(r_1\) für \(r\) entspricht, in der Art, daß die Ungleichung (II) durch alle zwischen 0 und \(2\pi\) liegenden Werte von \(\theta\) und \(\omega\) und durch die Werte von \(r\), die kleiner als \(r_1\) sind, befriedigt wird, so kann die Formel (III) auf alle Werte von \(x\) angewandt werden, die durch die Punkte der Fläche des mit \(r_1\) um den Nullpunkt beschriebenen Kreises dargestellt werden. Um den größten diesen Bedingungen genügenden Kreis zu erhalten, hat man zuerst den größten Wert, den die linke Seite der Ungleichung (II) annimmt, wenn \(\theta\) von 0 bis \(2\pi\) variiert, zu suchen und den entsprechenden Wert \(z'\) von \(z\), der von \(r\), \(\omega\) und \(\varrho\) abhängt; alsdann den kleinsten Wert \(r'\), den die durch die Gleichung \[ \Big|\frac{x\varphi_1(z) + x^2\varphi_2(z') +\cdots}{z'-t}\Big| = 1 \] definierte Funktion \(r\) annimmt, wenn \(\omega\) von 0 bis \(2\pi\) variiert; endlich den größten Wert \(\eta\), den \(r'\) annimmt, wenn \(\varrho\) von 0 bis \(R\) variiert. Dann ist \(\eta\) der Radius des gesuchten Kreises. Da die Bestimmung von \(\eta\) schwierig ist, muß man sich oft mit der Kenntnis eines Konvergenzkreises der Reihe (III) von einem kleineren Radius als \(\eta\) begnügen, den man mittels der Ungleichung \[ r\Big|\frac{\varphi_1(z)}{z-t}\Big| + r^2\Big|\frac{\varphi_2(z)}{z-t}\Big| +\cdots< 1\tag{IV} \] finden kann. Dies gilt z. R. für den Fall der Gleichungen \(u = f(z)\), \(x = t + x\varphi_1(z) + x^2\varphi_2(z)\). Es sei \(y\) eine durch die Gleichung \(f_1(x,y) = 0\) definierte algebraische Funktion von \(x\) und \((x_1,y_1)\) ein ihr genügendes Wertsystem; es sei der Zweig dieser Funktion, welcher für \(x = x_1\) den Wert \(y_1\) annimmt, oder \(f(y)\) in eine in einem gewissen Kreise vom Mittelpunkt \(x_1\) konvergente Reihe zu entwickeln, und es sei zunächst \(y_1\) eine einfache Wurzel der Gleichung \(f_1(x_1,y) = 0\). Bringt man die Gleichung \(f_1(x - x_1, y - y_1) = 0\) auf die Form \[ \begin{multlined} A_1y + A_2y^2 +\cdots+ A_my^m +\cdots- x(A_0^1 + A_1^1y + A_2^1y^2 +\cdots)\\ -x^2(A_0^2 + A_1^2y + A_2^2y^2 +\cdots) -\cdots= 0,\end{multlined} \] oder, wenn \(A_1\gtrless0\) ist, auf die Form \[ y = x\varphi_1(y) + x^2\varphi_2(y) + x^3\varphi_3(y) +\cdots, \] wo \[ \begin{aligned} \varphi_1(y) &= \frac{A_0^1 + A_1^1y + A_2^1y^2 +\cdots}{A_1 + A_2y + A_3y^2 +\cdots},\\ \varphi_2(y) &= \frac{A_0^2 + A_1^2y + A_2^2y^2 +\cdots}{A_1 + A_2y + A_3y^2 +\cdots}\end{aligned} \] ist, so kann \(y\) oder \(f(y)\) mittels der Formel (III) nach Potenzen von \(x\) entwickelt werden. Die sich ergebende Reihe ist konvergent, wenn \[ \frac{r\{|A_0^1| + |A_1^1||y| +\cdots+ r[|A_0^2| + |A_1^2||y| +\cdots]+\cdots\}}{|y|\{|A_1| - |A_2||y| - |A_3||y^2| -\cdots\}} < 1 \] und \(|A_1| > |A_2||y| + |A_3||y|^2 +\cdots\) ist. Werden diese Gleichungen für \(r = r_1\) und \(|y| = \varrho\) befriedigt, so auch für \(r < r_1\), und die Formeln (I) und (III) sind gültig für alle Punkte \(x\) der Fläche des mit dem Radius \(r_1\) um den Nullpunkt beschriebenen Kreises. Ist \[ A_1 = 0,\quad A_2 = 0,\,\dots,\, A_{m-1} = 0,\quad A_m\gtrless0, \] so ist \[ y = x^\frac1m [\psi_1(y) + x\psi_2(y) + x^2\psi_3(y) +\cdots]^\frac1m, \] wo \[ \begin{aligned} \varphi_1(y) &= \frac{A_0^1 + A_1^1y + A_2^1y^2 +\cdots}{A_m + A_{m+1}y + A_{m+2}y^2 +\cdots},\dots\\ \varphi_2(y) &= \frac{A_0^2 + A_1^2y + A_2^2y^2 +\cdots}{A_m + A_{m+1}y + A_{m+2}y^2 +\cdots},\dots\end{aligned} \] oder wenn \(x^\frac1m = v\varepsilon_m\) ist: \[ y = \varepsilon_m v[\psi_1(y) + v^m\psi_2(y) + v^{2m}\psi_3(y) + m]^\frac1m, \] wo \(\varepsilon_m\) eine beliebige Wurzel der Gleichung \(\zeta^m = 1\) ist. Setzt man \[ t = 0,\quad F(y,v) = \varepsilon^m[\psi_1(y) + v^m\psi_2(y) +\cdots]^\frac1m, \] so erhält man mittels (I) eine konvergente Entwicklung, die auf alle durch die Punkte einer Fläche \(B\) dargestellten Werte von \(v\) anwendbar ist, wenn für diese Werte von \(v\) und für alle durch die Punkte einer Fläche \(A\) dargestellten Werte von \(y\) \[ |A_0^1 + A_1^1y + A_2^1y^2 +\cdots+ v^m[A_0^2 + A_1^2y +\cdots] +\cdots| > 0, \] \[ |A_m + A_{m+1}y + A_{m+2}y^2 +\cdots| > 0 \] und für alle durch die Punkte des Umfanges von \(A\) dargestellten Werte von \(y\) \[ \frac{|v|\cdot[\psi_1(y) + v^m\psi_2(y) +\cdots]^\frac1m}{|y|} < 1 \] ist. Die Bestimmung der die Punkte \(v\) enthaltenden Fläche ist nicht leicht; aber man kann einfachere, einen Teil dieser Fläche bestimmende Ungleichungen finden. Genügen \(v = |\eta|\), \(y = |\varrho|\) den Ungleichungen \[ |A_m| > |A_{m+1}||y| + |A_{m+2}||y|^2 +\cdots, \] \[ \begin{aligned} \frac{|v^m|\{A_0^1 + |A_1^1||y| +\cdots+ v^m[|A_0^2| + |A_1^2||y| +\cdots] +\cdots\}}{|y|^m\{|A_m| - |A_{m+1}||y| - |A_{m+2}||y^2| -\cdots\}} &< 1,\\ \frac{|A_1^1||y| + |A_2^1||y|^2 +\cdots+ v^m[|A_0^2| + |A_1^2||y| +\cdots] +\cdots}{|A_0^1|} &< 1,\end{aligned} \] dann gilt, wenn \(v\) ein beliebiger Punkt der Fläche des mit dem Radius \(\eta\) um den Nullpunkt beschriebenen Kreises ist, die Entwicklung \[ f(y) = f(0) + \sum_{n=1}^\infty \frac{v^n}{n!}\left[\frac{d^{n-1}\{f'(t)[F(t,v)]^n\}}{dt^{n-1}}\right]_0. \] Im Kreise vom Radius \(\eta\) gilt die konvergente Reihe \[ \begin{multlined} f(y) = f(0)\\ + \sum_{n=1}^\infty \varepsilon_m^n v^n \sum{}' \frac1{\alpha!\beta!\gamma!\dots}\cdot \left[\frac{d^{b-1}\{f'(t)[\varphi_0(t)]^\alpha [\varphi_m(t)]^\beta\dots\}}{dt^{b-1}}\right]_0,\end{multlined} \] wo die \(\sum'\) sich auf alle ganzzahligen, positiven und verschwindenden Lösungen der Gleichung \[ \alpha + (m+1)\beta + (2m+1)\gamma +\cdots= n\qquad (b = \alpha + \beta + \gamma +\cdots) \] bezieht. Diese Formel gibt für \(f(y)\) \(m\) verschiedene, den \(m\) Werten von \(\varepsilon_m\) entsprechende Werte und ist gültig für alle Punkte \(x\) der Fläche eines mit dem Radius \(\eta^m\) um den Nullpunkt beschriebenen Kreises. Sind \(y_1\), \(y_2\), ..., \(y_m\) die den \(m\) Werten von \(\varepsilon_m\) entsprechenden Werte von \(y\), so ist \[ \begin{multlined} f(y_1) + f(y_2) +\cdots+ f(y_m) = mf(0)\\ + \sum_{i=1}^\infty \frac{x^i}{i(mi-1)!} \left[\frac{d^{mi-1}\{f'(t)[\psi_1(t) + x\psi_2(t) +\cdots]^i\}}{dt^{mi-1}}\right]_0\end{multlined} \] oder \[ \begin{multlined} f(y_1) + f(y_2) +\cdots+ f(y_m) = mf(0)\\ + \sum_{n=1}^\infty x^n \sum{}'\frac{(i-1)!}{(mi-1)!} \left[\frac1{\alpha!\beta!\gamma!\dots} \frac{d^{mi-1}\{f'(t)[\psi_1(t)]^\alpha [\psi_2(t)]^\beta\dots\}}{dt^{mi-1}}\right]_0,\end{multlined} \] wo die \(\sum'\) sich auf alle ganzzahligen, positiven Lösungen der Gleichung \(\alpha + 2\beta + 3\gamma +\cdots+ n\lambda = n\) bezieht und \(i = \alpha + \beta + \gamma +\cdots+ \lambda\) ist. Die unter der Voraussetzung \(A_0'\gtrless0\) entwickelte Methode kann verallgemeinert werden. II. Bezeichnet \(A_b\) die Summe aller Werte, die \(\frac{n!}{\alpha!\beta!\gamma!\dots \lambda!}\) annimmt, so kann (III) in der Form \[ f(z) = f(t) + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} \sum_{b=1}^n A_b \frac{d^{b-1}\{f'(t)[\varphi(t)]^n[\psi(t)]^b\}}{dt^{b-1}} \] oder, da \(A_b = \frac{(n-1)!}{(b-1)!}\binom nb\) ist, in der Form \[ f(z) = f(t) + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \sum_{b=1}^n \frac1{(b-1)!}\binom nb \frac{db^{n-1}\{f'(t)[\varphi(t)]^n[\psi(t)]^b\}}{dt^{b-1}} \] geschrieben werden. Hieraus werden Folgerungen gezogen, indem gesetzt wird: \[ \begin{alignedat}{3} 1)\qquad \varphi(z) &= 1,&\quad \psi(z) &= z^2 - 1,&\quad f(z) &= \frac12\log\frac{1-z}{1+z},\\ 2)\qquad \varphi(z) &= 1,&\quad \psi(z) &= 1 - z^2,&\quad f(z) &= \arcsin z,\\ 3)\qquad \varphi(z) &= 1,&\quad \psi(z) &= e^z,&\quad f(z) &= z,\\ 4)\qquad \varphi(z) &= z,&\quad \psi(z) &= 1,&\quad f(z) &= z.\end{alignedat} \] Wendet man die Formel (III) auf \[ u = f(z),\quad z = t +(e^{x\varphi(z)} - 1)\psi(z) \] an und bezeichnet durch \(S_b\) die Summe der Werte, die der Ausdruck \[ \frac{n!}{\alpha!\beta!\dots \lambda! (2!)^\beta (3!)^\gamma\dots (n!)^\lambda} \] annimmt, wenn für \(\alpha\), \(\beta\), ..., \(\lambda\) die ganzzahligen, positiven und verschwindenden Lösungen der Gleichungen \[ \alpha + 2\beta + 3\gamma +\cdots+ n\lambda = n,\quad \alpha + \beta + \gamma +\cdots+ \lambda = n \] gesetzt werden, so ergibt sich, wenn \[ S_b = \frac1{b!}\left[b^n - b(b-1)^n + \binom b2(b-2)^n -\cdots\pm \binom b{b-1} 1^n\right] = \frac1{b!}\varDelta^b0^n \] gesetzt wird, \[ f(z) = f(t) + \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} \sum_{b=1}^n \frac{\varDelta^b0^n}{b!} \frac{d^{b-1}\{f'(t)[\varphi(t)]^n[\psi(t)]^b\}}{dt^{b-1}}. \] Hieraus werden Folgerungen gezogen, indem \[ \begin{aligned} 1)\qquad f(z) &= z,\quad \varphi(z) = z,\quad \psi(z) = 1,\\ 2)\qquad f(z) &= \frac12\log\frac{1-z}{1+z},\quad \varphi(z) = 1,\quad \psi(z) = z^2 - 1,\\ 3)\qquad f(z) &= \arcsin z,\quad \varphi(z) = 1,\quad \psi(z)=1 - z^2\end{aligned} \] gesetzt wird. III. Hinsichtlich der Berechnung der Koeffizienten der Formeln (I) und (III) ergibt z. B. für \(u = f(z)\), \(z = t+x\varphi(z)\) \[ \frac1{n!} \left(\frac{d^nu}{dx^n}\right)_0 = \sum \frac{f^b(t)}{\alpha!\beta!\dots\lambda!} [\varphi(t)]^\alpha \left[\frac1{2!}\frac{d[\varphi(t)]^2}{dt}\right] \dots \left[\frac1{n!}\frac{d^{n-1}[\varphi(t)]^n}{dt^{n-1}}\right]^\lambda \] den Koeffizienten von \(x^n\) in der Entwicklung von \(f(z)\).