Sur l'approximation des incommensurables et les séries trigonométriques. (Q1502705)

Sind \(A\) und \(B\) reelle, den Ungleichungen \(A>3\), \(B\geq2A^2\) genügende Zahlen, so kann man zwei ganze Zahlen \(p\) und \(q\) von der Beschaffenheit finden, daß \(A<q<B\), \(\Big|\frac pq-\alpha\Big|<\frac1{q^2}\) ist. Bezeichnet man durch \(\varphi(h)\) die Anzahl der ganzzahligen Lösungen der Ungleichungen \(\Big|\frac pq-\alpha\Big|<\frac1{q^2}\), \(0 < q < h\), so hat man immer, wie auch die irrationale Zahl \(\alpha\) beschaffen sein mag, \(\varphi(h)>\frac12\log h\). Wie schnell auch die Konstanten \(A_1\), \(A_2\), ... wachsen, die Reihe \(\sum A_n\left.{\sin\atop\cos}\right\}a_nx\) wird in jedem Intervall Punkte absoluter Konvergenz haben, vorausgesetzt, daß die ganzen Zahlen \(a_1\), \(a_2\), ... hinreichend schnell wachsen.