Note on divergent Fourier series. (Q1502706)

Die Funktion \(f(x)\) sei stetig für \(a\leq x\leq b\) und habe eine endliche Anzahl extremer Werte zwischen \(a\) und \(b\). Diesen Bedingungen genüge \(f(x)\) jedoch nur mit Ausnahme einer endlichen Anzahl singulärer Punkte \(\alpha_k\) \((k=1,2,\dots,r)\): \[ a < \alpha_1 <\cdots< \alpha_r < b, \] von solcher Art, daß \(f(x) - \sum\limits_{i=1}^{i=m_k} \frac{A_{ki}}{(x-\alpha_k)^i}\) die angegebenen Bedingungen in der Umgebung von \(\alpha_k\) befriedigt. Dann kann \(f(x)\) in eine Fouriersche Reihe entwickelt werden, welche divergent, aber summierhar ist für alle Werte von \(x\) in \((a\dots b)\), mit Ausnahme der Punkte \(\alpha_k\). Mit Hülfe der Fejérschen ``Untersuchungen über Fouriersche Reihen'' (Math. Ann. 58, 51-69; F. d. M. 34, 287, 1903, JFM 34.0287.01), die dem Verf. erst nach der Abfassung seines Aufsatzes bekannt geworden sind, wie er in einem Zusatzparagraphen bemerkt, lassen sich die obigen Ergebnisse verallgemeinern. Der dritte Paragraph der Arbeit führt Singularitäten anderer Art ein als die erwähnten.