Contributo alla teoria degli infiniti. (Q1502748)

In \S\ I gibt der Verf. sehr einfache und elegante Beweise für die Stolzschen Sätze über das Verhalten von \[ \frac{f(x)}{\varphi(x)}\text{ und }\frac{f(x+h) - f(x)}{\varphi(x+h)- \varphi(x)} = \frac{\varDelta f}{\varDelta\varphi}\qquad (h\text{ konstant und positiv}) \] bei unendlich zunehmenden \(x\). Die Stolzschen Beweise (vgl. die Stolzschen Arbeiten in Bd. XIV, XV, XXXIII der math. Annalen oder die Darstellung in der ``Allgemeinen Arithmetik'') sind wesentlich komplizierter. In \S\ II werden Hülfssätze über Funktionen diskreter Veränderlicher entwickelt. Sind \(f_1\), \(f_2\), \(f_3\), ... und \(\varphi_1\), \(\varphi_2\), \(\varphi_3\), ... zwei reelle Folgen, so beziehen sich diese Sätze auf die beiden Ausdrücke \[ \psi_n = \frac{f_n}{\varphi_n},\quad \varrho_n = \frac{f_{n+1}-f_n}{\varphi_{n+1}-\varphi_n} = \frac{\varDelta f_n}{\varDelta\varphi_n}. \] Charakteristisch für die Betrachtungen des Verf. ist es, daß er \(\psi_n\) für genügend große Werte von \(n\) monoton annimmt. Bei der Anwendung der Sätze des \S\ II auf Funktionen einer stetigen Veränderlichen (\S\ III) hat man den Vorteil, die Funktionen \(f(x)\) und \(\varphi(x)\) nicht notwendig als stetig voraussetzen zu müssen. Von den Resultaten des \S\ III seien folgende hervorgehoben: 1. Wenn der Quotient \(\psi(x) = f(x)/\varphi(x)\) bei unendlich zunehmendem \(x\) monoton einem Grenzwert \(\lambda\) zustrebt, der endlich und von Null verschieden ist, so konvergiert auch \(\varrho(x,h) = \varDelta f/\varDelta\varphi\) nach demselben Grenzwert, falls eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist: \(\alpha\)) Die Funktion \(F = f(x) - \lambda\varphi(x)\) konvergiert beständig wachsend nach unendlich; \(\beta\)) \(F\) ist monoton, und \(\varphi(x)\) wird beständig wachsend unendlich. 2. Wenn \(f(x)\) monoton ist, \(\varphi(x)\) beständig wachsend unendlich wird und das Doppelverhältnis \(\varDelta f/\varDelta\varphi:\frac f{\varphi}\) größer bleibt als eine Zahl größer als 1, so wird \(\frac{f(x)}{\varphi(x)}\) bei unendlich zunehmendem \(x\) monoton unendlich. Bleibt dagegen jenes Doppelverhältnis kleiner als eine Zahl unter 1, aber doch positiv, so wird \(\frac{f(x)}{\varphi(x)}\) monoton infinitesimal. In \S\ IV wird die Beschränkung eingeführt, daß \(f(x)\), \(\varphi(x)\) stetig und differenzierbar sind. Hier tritt an die Stelle von \(\varDelta f/\varDelta\varphi\) der Quotient \(f'(x)/\varphi'(x)\). Besonders interessant ist außer den Betrachtungen über die l'Hôpitalsche Gleichung der folgende Satz: \(\varphi(x)\) werde beständig wachsend unendlich, und \(f(x)\) habe immer dasselbe Zeichen. Wenn dann das Doppelverhältnis \(\frac{f'}{\varphi'}:\frac f{\varphi}\) positiv ist und für \(x = \infty\) einen bestimmten Grenzwert hat, so gibt uns dieser die Ordnung des Unendlichwerdens von \(f\) (im Sinne Cauchys) an, vorausgesetzt daß man die Ordnung des Unendlichwerdens von \(\varphi\) als Einheit wählt. \S\ V bezieht sich auf den Cauchyschen Satz \[ \lim_{x=+\infty} \{F(x)\}^\frac1x = \lim_{x=+\infty} \frac{F(x+1)}{F(x)}. \]