Reelle periodische Lösungen einer Differentialgleichung. (Q1502831)

In seinen Untersuchungen über die durch Differentialgleichungen definierten Kurven widmet Poincaré ein Kapitel (Kap. 11, Journ. de Math. (4) 1, 167-244; F. d. M. 17, 680, 1885, JFM 17.0680.01) dem interessanten speziellen Falle, daß eine Differentialgleichung \[ \frac{dx}{y+A(x,y)} = \frac{dy}{-x+B(x,y)}, \] worin \(A\) und \(B\) Potenzreihen von \(x\) und \(y\) mit Gliedern mindestens zweiten Grades sind, ein Integral \(\Phi(x,y)=\) const. besitzt, wo \(\Phi\) eine Potenzreihe von \(x\) und \(y\) darstellt. In diesem Falle wird der singuläre Punkt \(x = 0\), \(y = 0\), welcher von unendlich vielen geschlossenen Integralkurven umgeben wird, Mittelpunkt (centre) genannt. --- Unter Einführung der Veränderlichen \(t\) (der Zeit) ersetzt Verf. die obige Differentialgleichung durch das System \[ \frac{dx}{dt} = y + A(x,y),\quad \frac{dy}{dt} = -x + B(x,y), \] welches, wenn man an Stelle von \(y\) die neue Veränderliche \[ x' = y + A(x,y) \] einführt, in \[ \frac{dx}{dt} = x',\quad \frac{dx'}{dt} = -x + F(x,x') \] übergeht, wo \(F(x,x')\) eine Potenzreihe von \(x\), \(x'\) ohne Glieder geringeren als zweiten Grades darstellt. Es ergibt sich somit die Differentialgleichung zweiter Ordnung \[ \frac{d^2x}{dt^2} + x = F\left(x,\frac{dx}{dt}\right), \] welche in der vorliegenden Arbeit nur in dem speziellen Fall behandelt wird, daß sie ein Integral \(\Phi(x,x') =\) Const. besitzt, wo \(\Phi\) eine Potenzreihe von \(x\), \(x'\) bedeutet. Auf Grund der Differentialgleichung erster Ordnung \[ \Phi\left(x,\frac{dx}{dt}\right) =\text{ Const.} \] entwickelt Verf. unter der Voraussetzung, daß die zu \(t = 0\) gehörigen Anfangswerte von \(x\) und \(x'\) hinreichend klein sind, \(x\) als periodische Funktion von \(t\) in eine Fouriersche Reihe nach einer Methode (vgl. Weierstraß, Über eine Gattung reell periodischer Funktionen, Werke Bd. II, 1 ff.), welche in seinem zweiten Aufsatz ``Zur Theorie der kleinen endlichen Schwingungen usw.'' (Zeitschr. f. Math. u. Phys. 49, 257 ff.; F. d. M. 34, 765, 1903, JFM 34.0765.01; vgl. ``Bewegungen in der Nähe einer stabilen Gleichgewichtslage'', J. für Math. 126, 194-232; F. d. M. 34, 763, 1903, JFM 34.0763.02) auf einfachere Fälle angewandt wurde.