Sur l'intégration des systèmes différentiels qui adinettent des groupes continus de transformations. (Q1502848)

Lie ist der erste, der sich die allgemeine Aufgabe gestellt hat, die Integrationsprobleme zu behandeln, die eine bekannte kontinuierliche Gruppe gestatten; er betonte immer, daß jedes solches Integrationsproblem in eine Reihe von einfacheren Problemen zerlegt werden kann, und hat das für ausgedehnte Kategorien von Integrationsproblemen wirklich durchgeführt. Unter diesen Gesichtspunkt ordnet sich nun, wie Lie ebenfalls schon betont hat, überhaupt jedes Integrationsproblem, von dem man nur weiß, daß es eine kontinuierliche Schar von Transformationen gestattet, weil man immer die Differentialgleichungen aufstellen kann, durch die die endlichen Transformationen der größten kontinuierlichen Gruppe, bei der das Problem invariant bleibt, definiert werden (die Definitionsgleichungen der betreffenden Gruppe). Der Verf. der vorliegenden Arbeit beschäftigt sich mit dem von Lie nur an einer Reihe von Beispielen behandelten Falle, daß die allgemeinste Lösung des Integrationsproblems von unendlich vielen willkürlichen Konstanten abhängt. Nach den Lieschen Prinzipien kann jedes solches Problem in zwei Integrationsprobleme zerlegt werden, von denen das eine keine kontinuierliche Gruppe mehr gestattet, während das zweite die Eigenschaft besitzt, daß eine allgemeinste Lösung aus einer beliebigen Lösung durch die Transformationen einer kontinuierlichen Gruppe hervorgeht. Der Verf. zeigt nun, und das ist in der Tat eine formelle Vereinfachung von großer Tragweite, daß man es immer so einrichten kann, daß das zweite Integrationsproblem ein automorphes System von Differentialgleichungen wird; so nennt er nämlich jedes System, dessen allgemeinste Lösung aus jeder beliebigen speziellen dadurch erhalten wird, daß man auf die abhängigen Veränderlichen die allgemeinste Transformation einer kontinuierlichen Gruppe von Punkttransformationen ausführt. Er erreicht das einfach, indem er nach dem von Gauß in der Flächentheorie gegebenen Vorbilde die Integralmannigfaltigkeiten des Systems in der Weise darstellt, daß die \(n\) Koordinaten des betreffenden Raumes als Funktionen von unabhängigen Veränderlichen erscheinen, die bei der Gruppe nicht transformiert werden. In Kap. I seiner Arbeit denkt sich der Verf. eine beliebige kontinuierliche Gruppe von Punkttransformationen des \(R_n\) durch die Definitionsgleichungen ihrer endlichen Transformationen gegeben und zeigt, wie man dann ohne Integration alle zu der Gruppe gehörigen automorphen Systeme von Differentialgleichungen aufstellen kann, d. h. alle Systeme, welche die Gruppe gestatten, und bei denen \(x_1\), ..., \(x_n\) Funktionen von beliebig vielen unabhängigen Veränderlichen \(t_1\), ..., \(t_m\) sind. Die Lösung dieser Aufgabe ist zwar auch schon enthalten in der von Lie und Tresse gegebenen Methode zur Bestimmung aller Differentialinvarianten und invarianten Systeme von Differentialgleichungen, die zu der Gruppe gehören; sie wird aber vom Verf. auf neue Weise durchgeführt. Sodann zeigt er, was im wesentlichen auch Lie schon geleistet hatte, daß die Integration jedes solchen automorphen Systems auf die einer Reihe automorpher Systeme zurückgeführt werden kann, deren Gruppen einfach und primitiv sind, sowie daß man, wenn \(G\) und \(\Gamma\) zwei einfache primitive und holoedrisch-isomorphe Gruppen in verschiedenen Räumen sind, zu jedem zu \(G\) gehörigen automorphen Systeme von Differentialgleichungen ein äquivalentes automorphes System konstruieren kann, das zu \(\Gamma\) gehört. Den Schluß des Kapitels bilden einige Bemerkungen über die automorphen Systeme, die zu den bisher bekannten einfachen und primitiven unendlichen kontinuierlichen Gruppen gehören. In Kap. II betrachtet der Verf. zunächst ein schon von Lie (Leipz. Ber. 1895, S. 116) behandeltes Integrationsproblem, das sich auf die unendliche Gruppe: \(\xi(x)p - z\xi'(x)r\) in drei Veränderlichen \(x\), \(y\), \(z\) bezieht. Die Ordnung der erforderlichen Integrationsoperationen wird dieselbe wie bei Lie; aber die Methode des Verf. führt insofern direkter zum Ziel, als sie sich nicht auf die Darbouxsche Integrationstheorie eines Involutionssystems zu berufen braucht. Nachdem er noch ein zweites Beispiel behandelt hat, zeigt der Verf. schließlich, daß nach denselben Prinzipien jedes System von Differentialgleichungen behandelt werden kann, das eine kontinuierliche Gruppe gestattet, und daß man, wenigstens im allgemeinen, die von Lie angegebene Zerlegung des Integrationsproblems immer so bewirken kann, daß das zweite zu integrierende System automorph ist.