Introduction to the theory of functions of one variable. Second edition, completely reworked. Volume 1. Irrational numbers, sets, limits, elementary functions, derivatives. (Q1502904)

Die Grundsätze, die den Verf. bei der Bearbeitung der neuen Auflage seiner 1886 erschienenen Einführung in die Theorie der Funktionen einer Veränderlichen geleitet haben, hat er in der Vorrede selbst dargelegt. Die erste Auflage habe ihre Dienste geleistet; Verbesserungen im kleinen hätten keinen Zweck gehabt, und deshalb habe er das Werk fast ganz neu geschrieben. Den Ausgangspunkt bildet wieder der Begriff der ganzen Zahl, von dem aus man sich zu dem Begriffe einer stetigen Größe erhebt. Aber während Tannery in der ersten Auflage, um den logischen Aufbau der Theorie ungestört und rein hervortreten zu lassen, vielleicht auch, ``um sich selbst in der Überzeugung zu bestärken, die er dem Leser einprägen wollte'', sich jeder geometrischen Redewendung, jeder geometrischen Figur enthalten hatte, hat er jetzt diese Scheu überwunden: wenn man von den Zahlen spreche, dürfe man nicht so tun, als wisse man nichts vom Raume; man habe das Recht, sich bei einer logischen Darstellung der Analysis der Ausdrücke und Figuren der Geometrie zu bedienen, vorausgesetzt, daß man es nur verstehe, sie in die Sprache der Zahlen zu übersetzen und die numerischen Eigenschaften, die die Figuren erläutern, logisch abzuleiten; die Raumanschauung, die bei der Entwicklung der Analysis eine so große Rolle gespielt hat, könne so dazu dienen, uns ``voranzuleuchten''. Tannery begegnet sich in dieser Ansicht mit F. Klein und D. Hilbert. Diese bestreiten, daß nur die Begriffe der Analysis oder gar nur diejenigen der Arithmetik einer völlig strengen Behandlung fähig seien; eine so einseitige Auslegung der Forderung der Strenge führe zu einer Ignorierung aller aus der Geometrie, Mechanik und Physik stammenden Begriffe, zu einer Unterbindung des Zuflusses von neuem Material aus der Außenwelt und schließlich sogar in letzter Konsequenz zu einer Verwerfung der Begriffe des Kontinuums und der Irrationalzahl. Ein zweiter Unterschied gegen die erste Auflage ist die Stellung, die die Mengenlehre erhalten hat. Während Tannery es damals nur gewagt hatte, sie flüchtig zu streifen, läßt er jetzt ihre Bedeutung hervortreten, die ebenso fundamental ist wie die des Begriffes der Grenze. In engem Zusammenhange mit den beiden soeben dargelegten Gesichtspunkten steht der Umstand, daß die Theorie der Irrationalzahlen, im Gegensatze zu der ersten Auflage, auf die Dedekind schon Schnitte gegründet wird. Bis auf die Theorie des Integrals enthält der erste Band ungefähr dasselbe wie die erste Auflage. In dem zweiten Bande soll die Integralrechnung behandelt und im Anschluß daran eine Einführung in die Theorie der Funktionen einer komplexen Veränderlichen gegeben werden.