On functions of infinitely many independant variables (Q1502932)

Für Funktionen \(f(x_1,x_2,\dots,x_m,\dots)\) unendlich vieler Variabeln lassen sich die Begriffe der Stetigkeit, Konvergenz usw. ohne Schwierigkeit erklären. Auch die Definition analytischer Funktionen und ihre Entwicklung in eine Taylorsche Reihe ist möglich. Auch die aus der Funktionentheorie bekannten grundlegenden Sätze über Reihen von Funktionen finden sich hier wieder. Ein Beispiel ist das unendliche Produkt \(\prod(1 + x_n)\), ein anderes die Gesamtheit aller Funktionen, die sich in der Umgebung der Stelle \(x = 0\) regulär verhalten: \[ f(x_1, x_2,\dots,x_n) = x_0 + \frac{\alpha}{1!}x_1 + \frac{\alpha^2}{2!}x_2 +\cdots, \] worin \(x_0\), \(x_1\), \(x_2\), ... den Wert der Funktion und ihrer Ableitungen für die Nullstelle bedeuten.