On modes of convergence of an infinite series of functions of a real variable. (Q1502934)

Arzelà hat gezeigt (Bologna Mem. (5) 8, 131-186; F. d. M. 31, 394, 1900, JFM 31.0394.01), daß die Summe einer unendlichen Reihe von Funktionen einer reellen Veränderlichen dann in ihrem ganzen Bereiche eine stetige Funktion ist, wenn die Reihe intervallweise gleichmäßig konvergiert, und zwar ist diese Bedingung notwendig und hinreichend. In der Hauptsache wird nun in der vorliegenden Abhandlung gezeigt, daß sich diese Art der Konvergenz auch dadurch als notwendig und hinreichend erweisen läßt, daß man sich auf den Heine-Borelschen Satz über eine unendliche Menge von Intervallen stützt. Des weiteren behandelt Verf. die Ermittlung der notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß die Summenfunktion eine integrable Funktion ist, wenn die Reihenglieder zwar nicht als stetige, wohl aber als integrierbare Funktionen vorausgesetzt werden. Dagegen wird der Fall nicht behandelt, daß eine integrable Summenfunktion die Summe der Integrale der einzelnen Glieder ist.