Two new proofs of the ''fundamental theorem on Fourier coefficients''. (Q1502942)

Es handelt sich um die von Ljapunoff, Ch. de la Vallée Poussin und Hurwitz entdeckte Formel: \[ \frac1{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(x)f(x)dx = \frac12a_0^2 + (a_1^2+b_1^2) +\cdots+ (a_k^2+b_k^2) +\cdots \] in der \(a_0\), \(a_1\), ...; \(b_0\), \(b_1\), ... die Fourierschen Konstanten von \(f(x)\) bedeuten (vgl. F. d. M. 32, 270, 1901, JFM 32.0270.01; 33, 599, 1902, JFM 33.0599.02; 34, 414-417, 1903, JFM 34.0414.01). Diese Formel ist längst bekannt und leicht zu beweisen, wenn sich \(f(x)\) in eine Fouriersche Reihe entwickeln läßt. Bildet man aus der integrierbaren Funktion \(f(x)\) den ``Mittelwert'': \[ F_\delta(x) = \frac12\int_{x-\delta}^{x+\delta} f(y)dy, \] so ist in allen Stetigkeitspunkten \(x\) von \(f(x)\): \[ \lim_{\delta=0} F_\delta(x) = f(x). \] Hierauf gründet sich die Vermutung, daß auch \[ \lim_{\delta=0} \frac1{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} F_\delta(x)F_\delta(x)dx = \frac1{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(x)f(x)dx \] sei. Nun gilt aber für das Integral links, da \(F_\delta(x)\) sich in eine Fouriersche Reihe entwickeln läßt, der Fundamentalsatz, und hieraus ergibt sich durch den Grenzübergang \(\lim\limits_{\delta=0}\) der erste der beiden neuen Beweise (Mittelwertbeweis). Bei dem zweiten benutzt der Verf. das Poissonsche Integral \[ u_r(x) = \frac1{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(y) \frac{1-r^2}{1-2r\cos(y-x)+r^2}dy, \] das die Eigenschaft besitzt, an allen Stetigkeitsstellen \(x\) von \(f(x)\) \[ \lim_{r=0} u_r(x) = f(x) \] zu ergeben. Hierauf gründet sich wieder die Vermutung, daß \[ \lim_{r=0} \frac1{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} u_r(x)u_r(x)dx = \frac1{\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} f(x)f(x)dx \] sei, wo das Integral links die in eine Fouriersche Reihe entwickelbare Funktion \(u_r(x)\) enthält. Durch Grenzübergang \(\lim\limits_{r=0}\) ergibt sich der zweite Beweis, den der Verf. als Potentialbeweis bezeichnet, weil man \(u_r(x)\) als Potentialfunktion in den Polarkoordinaten \(r\) und \(x\) auffassen kann. Die Abhandlung zeichnet sich durch die klare Darstellung des Gegenstandes aus und wird als Einführung in diese interessante Bereicherung der Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen mit Nutzen gebraucht werden können.