On certain properties of entire functions. (Q1502963)

Der Verf. stellt sich zuvörderst die Aufgabe, den Zusammenhang schärfer zu präzisieren, der bei ganzen transzendenten Funktionen zwischen der Art des Wachstums der Funktion und der Zahl ihrer Nullstellen in gegebenem Bereich besteht. Ist \(G(z)\) ein Produkt von primären Faktoren der Höhe (genre) \(p\): \[ G(z) = \prod\left(1 - \frac z{a_i}\right)e^{\frac z{a_i}+\cdots+ \frac{z^p}{pa_i^p}} \] und der absolute Betrag \(r_i = |a_i|\) der \(i\)-ten Nullstelle durch eine reelle Funktion \(\psi(i)\) so eingegrenzt, daß \[ r_i\geq \psi(i) \] ist, so findet der Verf. für das Maximum des absoluten Betrages der Funktion auf einem Kreise mit dem Radius \(r\) die Ungleichung: \[ \log|G(z)| < gr^p + 2r\int_m^n \frac{dx}{\psi(x)} +\cdots+ \frac{r^p}p\int_m^n \frac{dx}{\psi^p} + br^{p+1}\int_n^\infty \frac{dx}{\psi^{p+1}}, \] wo \(g\) und \(b\) zwei positive Konstanten und \(m\) und \(n\) aus \(r\) zu bestimmen sind. Mit Hülfe dieser Approximationsformel gelingt es unter anderem auch, den bisher noch nicht behandelten Fall aufzuklären, in welchem sich der Maximalbetrag von \(G(z)\) auf dem Kreise mit dem Radius \(r\) näherungsweise verhält wie \(e^{r^p}\). Während Hadamard für den Fall, daß der Konvergenzexponent \(\varrho\) der Reihe der Nullstellen keine ganze Zahl ist, den Satz aufstellen konnte, daß die Summe zweier Funktionen der Höhe \(p\) höchstens wieder die Höhe \(p\) hat, zeigt der Verf., daß in dem bisher ausgeschlossenen Fall einer ganzzahligen Ordnung \(\varrho\) die Summe zweier Funktionen der Höhe \(p\) die Höhe \(p + 1\) haben kann. Der zweite Teil der Abhandlung beschäftigt sich mit der logarithmischen Ableitung einer ganzen Funktion \(G(z)\) von endlicher Höhe. Schließt man aus dem Gebiete der unabhängigen Variable Flächenstücke mit beliebig kleinem Gesamtinhalt aus, welche die Pole enthalten, so bleibt in dem ganzen Restgebiet die logarithmische Ableitung von \(G(z)\) ihrem absoluten Betrage nach mit einer endlichen Potenz der Variable vergleichbar. Die befolgte Methode läßt sich alsdann überhaupt auf meromorphe Funktionen eines allgemeineren Typus anwenden und wird zur Untersuchung des Größenwachstums der Integrale von Differentialgleichungen in den Fällen benutzt, in welchen die von Painlevé angegebenen Typen von Gleichungen durch meromorphe Funktionen integriert werden. Schließlich werden im dritten und vierten Teile die früheren Prinzipien auf ganze Funktionen von unendlicher Höhe und auf die Untersuchung des Größenwachstums von Integralen allgemeinerer algebraischer Differentialgleichungen erster Ordnung übertragen. Der Verf. definiert eine Klasse von Differentialgleichungen, deren Integrale ein ganz analoges Wachstum besitzen wie ganze Funktionen von endlicher Höhe; er gelangt hiernach zu der Vermutung, daß der Zusammenhang zwischen der Größenordnung und dem analytischen Charakter einer Funktion eine ganz allgemeine Eigenschaft der analytischen Funktionen manifestiert, die nicht auf die ganzen Funktionen beschränkt ist.