Abel's theorem and Lie's theorem on translation surfaces. (Q1502996)

Eine der schönsten Entdeckungen Lies, von der er noch in späteren Jahren mit großer Genugtuung sprach, ist sein Theorem über Translationsflächen mit mehrfacher Erzeugung. Schon seit 1869 hatte Lie Beispiele solcher Flächen gefunden, und es zeigte sich, daß die Tangenten der vier erzeugenden Kurvenscharen die unendlich ferne Ebene in den Punkten einer algebraischen Kurve vierter Ordnung treffen, während die Flächen selbst im allgemeinen transzendent sind. Der innere Grund dieser auf den ersten Anblick merkwürdigen Erscheinung liegt in der Beziehung des Problems der Translationsflächen zu dem Abelschen Theorem. Es dauerte aber lange, bis Lie zur Aufdeckung dieses Zusammenhanges gelangte, und erst in den Jahren 1891-1895 konnte er wirklich beweisen, daß das Abelsche Theorem, angewandt auf den Schnitt einer Kurve vierter Ordnung mit einer veränderlichen Geraden, alle nicht abwickelbaren Translationsflächen mit mehrfacher Erzeugung liefert. Der Beweis bot große analytische Schwierigkeiten, die Lie ``in äußerst scharfsinniger Weise durch seine bewährte Methode überwand, nämlich durch das Herbeiziehen begrifflicher geometrischer Überlegungen''. Scheffers gibt in der vorliegenden Arbeit einen sehr eleganten rein analytischen Beweis, der denselben Ausgangspunkt wie der Liesche hat.