On functions which depend on three real arguments. (Q1503012)

An Stelle des Newtonschen Gesetzes wird das Exponentialgesetz, wie es der Verf. nennt, zugrunde gelegt. Das Potential \[ P = \int \frac{\varepsilon d\tau}r, \] das etwa von einer Massenverteilung herrührt, wird durch das Integral \[ P_1 = \int \frac{\varepsilon d\tau}R \] ersetzt, worin \(R = r\cdot e^{\alpha r}\) und \(\alpha\) eine positive von Null verschiedene Konstante bedeutet. Die Funktion \(P_1\) genügt einer einfachen Gleichung, dem Analogon zur Poissonschen Gleichung. Setzt man \(\varepsilon\) der Reihe nach gleich \(u\), \(v\), \(w\), so erhält man drei Funktionen \(U_1\), \(V_1\), \(W_1\). Durch Einführung ihrer Ableitungen und ans der Potentialtheorie wohlbekannter Kombinationen dieser Ableitungen läßt sich eine oft benutzte Identität umformen. Die Benutzung der verallgemeinerten Poissonschen Gleichung liefert schließlich die Werte \(u_1\), \(v_1\), \(w_1\) der Funktionen \(u\), \(v\), \(w\) in einem bestimmten Raumpunkte als Summe von Raumintegralen und Ableitungen von solchen. Die Formeln können im allgemeinen nicht als Verallgemeinerung von Ergebnissen angesehen werden, die aus dem Newtonschen Gesetz \((\alpha=0)\) folgen. Für konstante \(u\), \(v\), \(w\) gehen die allgemeinen Formeln in die Gleichung über: \[ \int \frac{d\tau}{re^{\alpha r}} = \frac{4\pi}{\alpha^2}\qquad (\alpha>0), \] die sich leicht direkt bestätigen läßt.