Sur une série analogue aux fonctions modulaires. (Q1503043)

Falls die Reihe \[ f(\omega) = \sum_{\nu=1}^\infty \frac{\cot\nu\omega\pi}{(2\nu\pi)^{2m+1}}, \] die für \(m\geq1\) konvergiert, wenn \(\omega\) eine Wurzel einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten ist, für eine algebraische oder transzendente Größe \(\omega\) konvergiert, so ist sie auch für jede \(\omega\) äquivalente Größe \(\omega'\) konvergent, und \(f(\omega')\) kann linear durch \(f(\omega)\) und rational durch \(\omega\) ausgedrückt werden. Bezeichnet \((-1)^m\varphi(\omega)\) den Koeffizienten von \(x^{2m}\) in der Entwicklung von \(1/(e^x-1)(e^{\omega x}-1)\), so ist \[ f(\omega) + \omega^{2m}f\left(\frac{\pi}{\omega}\right) = \varphi(\omega); \] hieraus und aus \(f(-\omega)=-f(\omega)\); \(f(\omega\pm1)=f(\omega)\) kann der gesuchte Ausdruck von \(f(\omega')\) hergeleitet werden. Ist \(\omega\) eine quadratische Irrationalität, so gilt dasselbe auch für \(f(\omega)\). Aus \(\omega = a + 1/\omega_1\), \(\omega_1 = a_1 + 1/\omega_2\), \(\omega_2 = a_2 + 1/\omega_3\), ... erhält man \(\omega_r=\omega\); die Gleichung \[ f(\omega) \sum_{\nu=1}^r \frac{(-1)^{\nu-1}\varphi(\omega_\nu)}{(\omega_1 \omega_2\dots \omega_\nu)^{2m}} + \frac{(-1)^r\varphi(\omega_r)}{(\omega_1 \omega_2\dots \omega_r)^{2m}} \] wird eine für die Unbekannte \(f(\omega)\) lineare Gleichung, wenn man \(\omega=\omega_r\) setzt. Für ein beliebiges irrationales \(\omega\) ist \[ (2\pi)^{2m+1}\varphi(\omega) = \sum \frac{\cot\nu\omega\pi}{\nu^{2m+1}} + \omega^{2m} \sum \frac{\cot\frac{\mu\pi}{\omega}}{\mu^{2m+1}}; \] die rechte Seite wird dann nicht als Summe von zwei Reihen sondern als ein Reihenpaar (vgl. F. d. M. 31, 401, JFM 31.0401.01) betrachtet, in dem die Zeiger \(\nu\) und \(\mu\) paarweise so geordnet werden mögen, daß der absolute Betrag von \(\nu\omega - \mu = \xi\) kleiner als ein beliebig gewählter Bruch ist; diese Zeiger können durch freie Werte vervollständigt werden, so daß sich alle positiven ganzen Zahlen \(\nu\) und \(\mu\) ergeben.