Recherches sur des généralisations d'une fonction de Legendre et d'Abel. (Q1503048)

Legendre, Abel und andere, in letzter Zeit W. Kapteyn, haben sich mit der Funktion: \[ \frac x{1^2} + \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^3}{3^2} +\cdots,\quad |x| < 1, \] beschäftigt. Verf. betrachtet die allgemeinere Funktion \[ L_{n,p}(x) = \sum_{s=0}^\infty \frac{\omega_{p+s-1}^{p-1}}{(p+s)^{n+1}}\cdot x^{p+s},\quad |x| < 1; \] dabei ist \[ \omega_{n-1}^{n-p-1} = \frac{C_n^p}{(n-1)!} \] und \[ x(x+1)\dots (x+n-1) = C_n^0x^n + C_n^1x^{n-1} +\cdots+ C_n^{n-1}x \] gesetzt. Für \(L_{n,p}(x)\) gilt die Integraldarstellung \[ L_{n,p}(x) = \frac{(-1)^{n+p-1}}{p!(n-1)!} \int_0^1 \frac{(\log(1 - tx))^p(\log t)^{n-1}}t dt,\quad |x| < 1,\tag{1} \] die sich durch partielle Integration in folgende verwandeln läßt: \[ L_{n,p}(x) = \frac{(-1)_x^{n+p-1}}{n!(p-1)!} \int_0^1 \frac{(\log(1 - tx))^{p-1}(\log t)^n}{1-tx} dt.\tag{2} \] Diese Formeln liefern ein einfaches Mittel zur analytischen Fortsetzung von \(L_{n,p}(x)\) über den Kreis \(|x| = 1\) hinaus, und mit Hülfe von (2) beweist man leicht, daß \(x = 1\) im Endlichen der einzige kritische Punkt ist. Verf. bestimmt die verschiedenen Zweige der Funktion. Er behandelt zum Schluß noch die numerischen Reihen \[ L_{n,p}(1) = s_{n,p},\quad L_{n,p}(-1) = \sigma_{n,p},\quad L_{n,p}(\frac12) = a_{n,p} \] und findet u. a. folgende Sätze. \(s_{n,p}\) läßt sich als ganze rationale Funktion von \(s_2,s_3,\dots,s_{n+p}\) mit rationalen Koeffizienten darstellen, wenn \[ s_r = \frac1{1^r} + \frac1{2^r} + \frac1{3^r} +\cdots \] ist; schreibt man \(s_r\) den Grad \(r\) zu, so ist der Ausdruck für \(s_{n,p}\) homogen vom Grade \(n+p\). \(\sigma_{n,p}\) drückt sich linear und homogen durch die \(a_{r,s}\) aus, für welche \(r\leq n\), \(s\geq p\) ist; die Koeffizienten sind Polynome in \(\log2\) mit rationalen Koeffizienten; schreibt man \(a_{r,s}\) den Grad \(r + s\) und \(\log2\) den Grad 1 zu, so ist der Ausdruck für \(\sigma_{n,p}\) homogen vom Grade \(n+p\). In dem letzten Satze darf man \(a_{r,s}\) und \(\sigma_{r,s}\) vertauschen, ohne daß er zu gelten aufhört.