Évaluation nouvelle des formules de Binet, Gudermann et Raabe concernant la fonction gamma. (Q1503049)

Die Binetschen Fakultätenreihen für die beiden Funktionen \[ \begin{aligned} \omega(x) &= \log\Gamma(x) - \left(x-\frac12\right)\log x + x - \log\sqrt{2\pi},\\ \omega_1(x) &= \log x - D_x\log\Gamma(x)\end{aligned} \] lassen sich in ganz elementarer Weise aus der Stirlingschen Formel \[ \frac1{x-\alpha} = \frac1x + \frac{\alpha}{x(x+1)} + \frac{\alpha(\alpha+1)}{x(x+1)(x+2)} +\cdots,\quad \Re(x-\alpha) > 0, \] ableiten, und es ergibt sich zugleich (was ein Vorzug gegenüber den Jensenschen Beweisen ist), daß die genannten Entwicklungen für \(\Re(x)>0\) konvergieren, und auch nur dann. Die Nielsensche Methode liefert als Korollare auch die Gudermannsche Formel \[ \omega(x) = \sum_0^\infty \left\{\left(x + s + \frac12\right)\log\left(1 + \frac1{x+s}\right) -1\right\}, \] die für jeden endlichen \(x\)-Wert außer für \(x=0\), \(-1\), \(-2\), \(-3\), ... gilt, und die Raabesche Formel \[ \int_0^1 \log\Gamma(x+\alpha)d\alpha = x(\log x-1) + \log\sqrt{2\pi},\quad \Re(x)>0. \]