Recherches sur le carré de la dérivée logarithmique de la fonction gamma et sur quelques fonctions analogues. (Q1503051)

Verf. betrachtet die zu der Gaußschen Funktion \[ \Psi(x) = D_x\log\Gamma(x) \] in enger Beziehung stehende Funktion \[ s_1(x) = \sum_0^\infty \left(\frac1{x+n} - \frac1{n+1}\right) \] und daneben \[ \sigma_1(x) = \frac12 \left\{s_1\fracwithdelims()x2 - s_1\left(\frac{x+1}2\right)\right\} = \sum_0^\infty \frac{(-1)^\nu}{x+\nu}. \] Sein Ziel ist, Integraldarstellungen für die Produkte aus je zweien der vier Funktionen \[ s_1(x),\, s_1(1-x),\, \sigma_1(x),\, \sigma_1(1-x) \] zu finden und Entwicklungen in Fakultätenreihen zu geben. Diese Untersuchungen hängen mit der Theorie der numerischen Reihen \[ s_n = \frac1{1^n} + \frac1{2^n} + \frac1{3^n} +\cdots,\quad \sigma_n = \frac1{1^n} - \frac1{2^n} + \frac1{3^n} -\cdots \] zusammen. Die genannten Integraldarstellungen sind von derselben Form wie diese: \[ s_1(x) = \int_0^1 \frac{t^{x-1}-1}{1-t}dt,\quad \sigma_1(x) = \int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}dt. \] Sie ergeben sich mit Hülfe des folgenden Satzes: Wenn die Reihe \[ \frac{a_0}1 + \frac{a_2}2 + \frac{a_2}3 +\cdots \] konvergent ist und \(f(t) = \sum\limits_0^\infty a_\nu t^\nu\) gesetzt wird, so hat man für \(\Re(x)>0\) \[ \int_0^1 f(t) t^{x-1} dt = \frac{a_0}x + \frac{a_1}{x+1} + \frac{a_2}{x+2} +\cdots. \] Durch Spezialisierung von \(f(t)\) erhält man zunächst Integraldarstellungen für die Funktionen \[ \begin{aligned} \xi(x) &= \sum_0^\infty \left(\frac1{x+n} - \frac1{n+1}\right)\left(\frac11 + \frac12 +\cdots+ \frac1n\right),\\ \eta(x) &= \sum_1^\infty \frac{(-1)^{n-1}}n \left(\frac1x + \frac1{x+1} +\cdots+ \frac1{x+n-1}\right),\\ \xi_1(x) &= \sum_1^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n+x} \left(\frac11 + \frac12 +\cdots+ \frac1n\right),\\ \xi_2(x) &= \sum_1^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n+x} \left(\frac11 - \frac12 +\cdots+ \frac{(-1)^{n-1}}n\right).\end{aligned} \] Mit ihnen stehen aber in einem einfachen Zusammenhang die Funktionen: \[ \begin{aligned} &s_1^2(x),\, s_1(x)s_1(1-x),\, s_1(x)\sigma_1(x),\\ &\sigma_1^2(x),\, \sigma_1(x)\sigma_1(1-x),\, s_1(x)\sigma_1(1-x),\end{aligned} \] und dadurch gewinnt man die gesuchten Integralausdrücke. Diese ermöglichen nun, auf Grund eines vom Verf. herrührenden Satzes zu entscheiden, ob die betrachteten Funktionen sich in eine Reihe von der Form \[ \frac{b_0}x + \frac{1!b_1}{x(x+1)} + \frac{2!b_2}{x(x+1)(x+2)} +\cdots \] entwickeln lassen, und man kann die Entwicklung, wenn sie existiert, aus den Integralen ableiten. Schließlich behandelt der Verf. noch andere Entwicklungen in Fakultätenreihen, die darauf beruhen, daß man bei dem Integral \[ \int_0^1 f(1-t)(1-t)^{-x}dt \] unter gewisssen Bedingungen auf \((1-t)^{-x}\) die Binomialformel anwenden darf.