Note sur quelques séries de puissances trouvées dans la théorie de la fonction gamma. (Q1503052)

Es wird gesetzt \(\Gamma(x) = e^{\gamma(x)}\), ferner \[ -\gamma'(x) = s_1(x),\quad \frac{(-1)^n}{(n-1)!} \gamma^{(n)}(x) = s_n(x),\quad n\geq2. \] Dann ist \(s_1 = s_1(1)\) die Eulersche Konstante \(C\) und für \(n\geq2\) \[ s_n = s_n(1) = \frac1{1^n} + \frac1{2^n} + \frac1{3^n} +\cdots. \] Die Koeffizienten in \[ \Gamma(1+x) = 1 + c_1x + c_2x^2 +\cdots,\quad |x|<1, \] und \[ \frac1{\Gamma(1+x)} = 1 + \gamma_1x + \gamma_2x^2 +\cdots \] lassen sich dann in folgender Weise durch \(s_1\), \(s_2\), \(s_3\), ... ausdrücken, wobei in der inneren Summe \(r_1+r_2+\cdots+r_k = n\) ist, \[ \begin{aligned} c_n &= (-1)^n \sum_{k=1}^n \frac1{k!} \left(\sum \frac{s_{r_1}s_{r_2}\dots s_{r_k}}{r_1r_2\dots r_k}\right),\\ \gamma_n &= (-1)^n \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \left(\sum \frac{s_{r_1}s_{r_2}\dots s_{r_k}}{r_1r_2\dots r_k}\right).\end{aligned} \] Der zweite Ausdruck geht aus dem ersten hervor, indem man jedes \(s_r\) durch \(-s_r\) ersetzt. Betrachtet man die Funktion \[ B\left(\frac x2,\frac12\right) = \frac{\Gamma\fracwithdelims()x2 \Gamma\fracwithdelims()12}{\Gamma\left(\frac{x+1}2\right)}, \] setzt sie gleich \(e^{\beta(x)}\) und schreibt \[ -\beta'(x) = \sigma_1(x),\quad \frac{(-1)^n}{(n-1)!}\beta^{(n)}(x) = \sigma_n(x),\quad n\geq2, \] so ist für \(r = 1,2,3,\dots\) \[ \sigma_r = \sigma_r(1) = \frac1{1^r} - \frac1{2^r} + \frac1{3^r} -\cdots, \] und es lassen sich die Koeffizienten in \[ \frac12B\left(\frac{x+1}2,\frac12\right) = \frac{\pi}2 + b_1x + b_2x^2 +\cdots,\quad |x|<1, \] und \[ \frac x2\cdot B\left(\frac x2,\frac12\right) = 1 + \beta_1x + \beta_2x^2 +\cdots,\quad |x|<2, \] in folgender Weise durch \(\sigma_1\), \(\sigma_2\), \(\sigma_3\), ... ausdrücken, wobei wieder in der inneren Summe \(r_1 + r_2 +\cdots+ r_k = n\) ist, \[ \begin{aligned} b_n &= (-1)^n\frac{\pi}2 \sum_{k=1}^n \frac1{k!} \left(\sum \frac{\sigma_{r_1}\sigma_{r_2}\dots \sigma_{r_k}}{r_1r_2\dots r_k}\right),\\ \beta_n &= (-1)^n \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} \left(\sum \frac{\sigma_{r_1}\sigma_{r_2}\dots \sigma_{r_k}}{r_1r_2\dots r_k}\right).\end{aligned} \] Zum Schluß gibt der Verf. für die \(b_n\), \(\beta_n\) Reihen an, die bei genügend großem \(n\) für die numerische Berechnung sehr bequem sind: \[ \begin{aligned} (-1)^n b_n &= \frac1{1^{n+1}} + \frac12\cdot \frac1{3^{n+1}} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot \frac1{5^{n+1}} +\cdots,\\ (-1)^{n-1} \beta_n &= \frac12\cdot\frac1{2^n} + \frac{1\cdot3}{2\cdot4}\cdot \frac1{4^n} + \frac{1\cdot3\cdot5}{2\cdot4\cdot6}\cdot \frac1{6^n} +\cdots.\end{aligned} \]