Über eine Gaußsche Reihe in verschiedenen Teilen ihres Konvergenzgebietes. (Q1503060)

Die drei Reihen \[ F(\alpha, \beta, \alpha+\beta+\frac12, 4z(1-z)),\quad F(2\alpha, 2\beta, \alpha+\beta+\frac12, z), \] \[ F(2\alpha, 2\beta, \alpha+\beta+\frac12, 1-z) \] genügen, wie Gauß gezeigt hat, derselben Differentialgleichung zweiter Ordnung, die zweite und dritte Reihe sind analytische Funktionen im ganzen Gebiete ihrer Konvergenz, und diese Gebiete haben ein Stück gemeinsam. Die erste Reihe konvergiert im Innern einer Lemniskate, die die Punkte 0, 1 zu Brennpunkten und den Punkt \(\frac12\) zum Knotenpunkte hat; der Teil der Lemniskate, der den Punkt 0 im Innern enthält, werde das Gebiet I, der, welcher den Punkt 1 enthält, das Gebiet II genannt. --- In I ist die erste Reihe gleich der zweiten, in II aber nicht; hier ist die erste Reihe gleich der dritten. Die erste Reihe stellt daher in I eine bestimmte analytische Funktion dar, die durch die zweite Reihe definiert wird; in II aber stellt die erste Reihe nicht die analytische Fortsetzung der ersten Reihe dar, sondern nur ``einen Bestandteil'' dieser Fortsetzung, nämlich die durch die dritte Reihe definierte analytische Funktion.