Eine Anwendung des Eisensteinschen Satzes auf die Theorie der Gaußschen Differentialgleichung. (Q1503061)

Der Eisensteinsche Satz besagt: Genügt die Potenzreihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty c_nx^n\) mit rationalen \(c_n\) einer algebraischen Gleichung, so läßt sich eine ganze Zahl \(k\) derart bestimmen, daß \(k^n\cdot c_n\) für alle \(n\) ganzzahlig wird. Dieses Resultat wird in einer von Heine erweiterten Form auf die Gaußsche Reihe angewandt, von der vorausgesetzt wird, daß sie algebraisch ist, und daß somit die Elemente \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) sowie die Koeffizienten der Reihe rational sind. Nimmt man weiter an, daß keine der Zahlen \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma-\alpha\), \(\gamma-\beta\) ganz ist, so ist auch das zweite Integral des zu \(x=0\) gehörigen Fundamentalsystems algebraisch. Die hieraus folgende Bedingung beweist zusammen mit der ersten unmittelbar den Satz: ist die Winkelsumme in dem von Schwarz eingeführten reduzierten Kreisbogendreieck kleiner als \(180^\circ\), so ist die Funktion \(F(\alpha, \beta, \gamma, x)\) transzendent.