Sur l'aire du parallélogramme des périodes pour une fonction \(\wp u\) donnée. (Q1503066)

Die Invarianten einer \(\wp\)-Funktion seien gegeben. Mit ihnen sind die Größen \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) und das Quadrat \(x\) des Moduls, sowie ein Paar primitiver Perioden \(2\omega_1\), \(2\omega_3\) bekannt. Es soll der Flächeninhalt des Periodenparallelogramms abgeschätzt werden. Der Flächeninhalt ist gleich \[ A = \frac{\pi}{|e_1-e_3|}\cdot |\vartheta_3^4(0)|\log\Big|\frac1q\Big|. \] Durch passende Verfügung über die Reihenfolge der Wurzeln \(e_1\), \(e_2\), \(e_3\) wird das Quadrat des Moduls auf ein einfaches Gebiet (Kreisbogenzweieck) beschränkt. Durch das Studium der Abbildung dieses Bereichs mittels der Funktion \(q = e^{\pi i\tau}\), in der das Periodenverhältnis \(\tau\) als Funktion von \(x\) anzusehen ist, ergibt sich für \[ |\vartheta_3^4(0)|\log\Big|\frac1q\Big| \] in erster Annäherung der Wert \(\log\big|\frac{16}x\big|\). Der Überschuß \(C\) über diesen Wert ist ein positiver echter Bruch. Also wird: \[ A = \frac{\pi}{|e_1-e_3|}\cdot \left[\log\Big|\frac{16}x\Big| + C\right]. \]