On certain series of discontinuous functions connected with the modular functions. (Q1503075)

Riemann hatte untersucht, wie sich die Modulfunktionen \(\log k\), \(\log k'\), \(\log\frac{2k}{\pi}\) verhalten, wenn \(q\) sich dem Werte \(e^{\frac{b\pi i}a}\) nähert (Werke, 2. Aufl. S. 312-320); Dedekind hat in den Noten zu diesem Fragmente den Beweis mittels der linearen Transformation der Thetafunktionen geführt, und auf demselben Wege ist H. J. S. Smith (F. d. M. 13, 356, 1881, JFM 13.0356.03) vorgegangen. Der Verf. hatte bereite früher einen Teil der Formeln auf direktem Wege, nämlich durch Integrale auf krummlinigen Wegen im komplexen Gebiete, hergeleitet (vgl. F. d. M. 33, 470, 1902, JFM 33.0470.02) und gibt jetzt weitere Beispiele. Dabei begegnet er sich zum Teil mit Ergebnissen, die M. Lerch ohne Beweis in den Comptes rendus der Pariser Akademie vom 18. April 1904 mitgeteilt hat, siehe diesen Band, S. 450.