Theorie der Kugelfunktionen und der verwandten Funktionen, insbesondere der Laméschen und Besselschen (Theorie spezieller, durch lineare Differentialgleichungen definierter Funktionen). (Q1503092)

Inhaltsübersicht. I. Definition der allgemeinen Kugelfunktion. 1. Definition der allgemeinen Kugelfunktion mit zwei Veränderlichen. II. Die einfache Kugelfunktion \(P^n\). 2. Die einfache Kugelfunktion \(P^n\) einer Veränderlichen und ihre Differentialgleichung. 3. Verschiedene Reihen für \(P^n\). 4. Darstellung von \(P^n\) als Differentialquotient; Wurzeln von \(P^n=0\). 5. Darstellung von \(P^n\) durch bestimmte Integrale. 6. Integralsätze, Entwicklung ganzer Potenzen nach Kugelfunktionen, Rekursionsformeln. 7. Verschiedene Ausgangspunkte der Theorie, Tafeln. III. Zugeordnete Kugelfunktionen. 8. Zugeordnete Kugelfunktionen; ihre Differentialgleichung, verschiedene Darstellungen. 9. Integralsätze der Zugeordneten. 10. F. Neumanns Definition dieser Funktionen. IV. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion. 11. Darstellung der allgemeinen Kugelfunktion zweier Veränderlichen durch Zugeordnete. 12. Darstellung von \(Y_n\) bei Maxwell und Thomson und Tait. 13. Das Additionstheorem der einfachen Kugelfunktionen. 14. Integralsätze der allgemeinen Kugelfunktionen. 15. Entwicklung einer Funktion zweier Variabeln nach Kugelfunktionen. 16. Beweis für die Gültigkeit der Entwicklung nach Dini und Heine. 17. Andere Beweise. 18. F. Neumanns Entwicklung nach Kugelfunktionen auf Grund gegebener Beobachtungen. V. Die Kugelfunktion zweiter Art. 19. Die Kugelfunktion zweiter Art \(Q^n\). 20. Das F. Neumannsche Integral für \(Q^n\). 21. Entwicklung von \(Q^n\) nach steigenden Potenzen. 22. Integraldarstellung von \(Q^n\). 23. Zusammenhang zwischen Kugelfunktionen und Kettenbrüchen. 24. Zugeordnete Funktionen der zweiten Art. 25. Zugeordnete, deren Nebenindex den Hauptindex übersteigt. VI. Erweiterungen. 26. Kugelfunktionen, deren Index eine beliebige Zahl ist. 27. Ringfunktionen. 28. Mehlers Kegelfunktionen. 29. Adjungierte Kegelfunktionen. 30. Entwicklung einer Funktion nach Kegelfunktionen. 31. Funktionen, die aus der Entwicklung von \[ (1 - 2\alpha x + \alpha^2)^{-\nu} \] entstehen. 32. Fall, in dem \(\nu\) ein Vielfaches von \(\frac12\) ist. Kugelfunktionen höherer Ordnung. VII. Lamésche Funktionen. 33. Definition. Lamésche Differentialgleichung. 34. Darstellung der vier Klassen von Laméschen Funktionen erster Art. 35. Die zugeordneten Kugelfunktionen als Grenzfälle der Laméschen Funktionen. Additionstheorem. 36. Wurzeln der Gleichung \(E(\lambda)=0\). 37. Entwicklung einer Funktion nach Laméschen Produkten. 38. Die Laméschen Funktionen zweiter Art. 39. Hinweis auf Hermites Untersuchungen betreffs der Laméschen Gleichung. 40. Lam'esche Funktionen höherer Ordnung. 41. Erweiterung des Begriffs der Laméschen Funktionen. 42. Die Laméschen Funktionen mit mehr als drei singulären Punkten im Endlichen. 43. Funktionen des elliptischen Kegels. VIII. Zylinderfunktionen oder Besselsche Funktionen. 44. Differentialgleichung. Reihen und Integrale für die Funktionen der ersten Art. 45. Besselsche Funktionen zweiter Art. 46. Ableitung dieser Funktionen aus denen erster Art durch einen Grenzübergang. 47. Die Zylinderfunktionen als Grenzen der Kugelfunktionen. 48. Integraldarstellungen der Funktionen zweiter Art. 49. Semikonvergente Reihen. 50. Rekurrente Relationen. 51. Zusammenhang mit Kettenbrüchen. 52. Wurzeln der Gleichung \(J_\nu(z)=0\). 52. Additionstheorem der Funktionen erster und zweiter Art. 54. C. Neumanns Funktion \(O_n\). 55. Entwicklung einer analytischen Funktion nach Besselschen Funktionen. 56. Hinweis auf andere Reihen sowie auf Entwicklungen nach Quadraten und Produkten der Zylinderfunktionen. 57. Die für die Aufgaben der Physik erforderlichen Entwicklungen. 58. Die Reihe von Schlömilch. 59. C. Neumanns Integraldarstellung einer Funktion mittels Besselscher Funktionen. 60. Bestimmte Integrale mit Besselschen Funktionen. 61. Tafeln. IX. Funktionen des elliptischen und parabolischen Zylinders. 62. Funktionen des elliptischen Zylinders. 63. Funktionen des parabolischen Zylinders.