Recherches sur l'hydrodynamique. Deuxième Série. Les conditions aux limites. Le théorème de Lagrange et la viscosité. Les coefficients de viscosité et la viscosité au voisinage de l'état critique. (Q1503117)

Die erste Serie der zuerst in den Toulouse Ann. erschienenen und nachher gesammelten Artikel des Verf. über Hydrodynamik ist F. d. M. 34, 795, 1903, JFM 34.0795.02, angezeigt worden. Die vorliegende zweite Serie umfaßt die Teile IV bis VI. Bezüglich des Teiles IV (S. 1-97) vergleiche man F. d. M. 34, 796, 1903, JFM 34.0796.01 Das Inhaltsverzeichnis der neuen beiden Teile V und VI ist ebenfalls schon in F. d. M. 34, 797, 1903, JFM 34.0797.02, angegeben worden. Von Einzelheiten führen wir folgende an: Das Lagrangesche Theorem lautet bekanntlich: ``Wenn für eine elementare materielle Flüssigkeitsmenge die drei Größen: \[ \omega_x = \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z},\quad \omega_y = \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x},\quad \omega_z = \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \] in einem beliebigen Momente der Bewegung Null sind, so bleiben sie es während der ganzen Dauer der Bewegung.'' Dieser Satz wird für eine zähe Flüssigkeit zu zwei Sätzen erweitert, die sich unter die folgende Aussage einordnen: Im Verlaufe des Zeitraumes, auf den man sie anwendet, gibt es keinen Moment \(t\), für welchen die Koordinaten \[ x(a,b,c,t),\quad y(a,b,c,t),\quad z(a,b,c,t) \] aller Massenpunkte, die eine endliche Masse bilden, aufhören würden, analytische Funktionen von \(t\) zu sein. --- Im Innern einer nicht zusammendrückbaren zähen Flüssigkeit, deren Punkte alle auf derselben Temperatur sind, und bei der die Rotationen verschwinden, sind die unbestimmten Bewegungsgleichungen dieselben, wie wenn die Flüssigkeit nicht zähe wäre. --- Längs der Berührungsflächen eines festen Körpers und einer zähen Flüssigkeit besteht keine Reibung. Für \(t = t_0\) sind die Koordinaten der Punkte der Flüssigkeiten keine analytischen Funktionen von \(t\). --- Im Innern einer zähen Flüssigkeit, die mit festen oder beweglichen starren Körpern in Berührung ist, gibt es ein endliches, an die festen Wände grenzendes Gebiet, in dem die Koordinaten der verschiedenen materiellen Punkte nicht als analytische Funktionen der Zeit vom Anfangsmomente der Bewegung an ausdrückbar sind. Dieses Gebiet kann die ganze Flüssigkeit umfassen. Wenn es nur einen Teil der Flüssigkeit umfaßt, setzt sich dieser Teil während der ganzen Dauer der Bewegung aus denselben Massen zusammen. --- Die virtuelle Arbeit der Zähigkeitswirkungen im Innern einer nicht zusammendrückbaren Flüssigkeit ist identisch Null; mit andern Worten: die Voraussetzung einer zähen Flüssigkeit steht in Widerspruch mit der Definition des Wortes flüssig. --- Eine zähe Flüssigkeit ist in jeder Hinsicht einer Flüssigkeit vergleichbar, in deren Innern die Stokessche Relation \[ 3\lambda(\varrho,T) + 2\mu(\varrho,T) = 0 \] bestätigt wäre, bei der aber die Dichtigkeit, statt allein von dem Drucke \(P\) und der Temperatur \(T\) in diesem Punkte abzuhängen, und zwar durch die nämliche Relation: \[ P + \varrho^2(A_i+A_v) - \varrho^2\frac{\partial\zeta(\varrho,T)}{\partial\varrho} = 0, \] wie wenn die Flüssigkeit im Gleichgewichte wäre, in jedem Augenblicke die Relation betätigen muß: \[ P + \varrho^2(A_i+A_v) - \varrho^2\frac{\partial\zeta(\varrho,T)}{\partial\varrho} - \frac{3\lambda(\varrho,T) + 2\mu(\varrho,T)}{3\varrho} \frac{d\varrho}{dt} = 0. \] Die Dichtigkeit eines flüssigen Elementes ändert sich mit einer außerordentlichen Langsamkeit, obschon ihr Wert sich beträchtlich von dem Werte unterscheidet, der dem Gleichgewichte bei den Bedingungen der Temperatur und des Druckes entsprechen würde, in denen sich dieses Element befindet. --- In einem Zustande anscheinenden Gleichgewichtes ist die Verteilung der Dichtigkeiten im Innern der Flüssigkeit derartig, daß die auf einer und derselben Niveaufläche befindlichen Punkte merklich dieselbe Dichte haben.