Recherches théoriques sur l'écoulement des nappes d'eau infiltrées dans le sol et sur le débit des sources. (Q1503136)

Von dieser großen mathematischen Abhandlung sind verschiedene Auszüge in den C. R. 1903 erschienen, und danach ist (F. d. M. 34, 813, 1903, siehe JFM 34.0813.02, JFM 34.0813.03 u. JFM 34.0813.04) berichtet worden. Zunächst wird nach den wohl bekannten elementaren Gesetzen des Durchsickerns die partielle Differentialgleichung nebst den auf den Umfang des Sickerbeckens sich beziehenden Randbedingungen hergeleitet, von der die Erniedrigung der freien Oberfläche abhängt, wenn die Neigungen am Boden und an der Oberfläche kleine Werte haben. Linear und daher unschwer zu integrieren wird diese Differentialgleichung nur unter der Annahme eines sehr niedrigen Wasserstandes, d. h. eines geringen Abstandes des höchsten Punktes des Niveaus und der Abflußquelle; dann aber verhält sich der Abfluß nach der Quelle genau wie der Wärmefluß in einer gewissen Platte mit undurchlässigen Wänden und mit Grenzen, die mit denen des Wasserbeckens zusammenfallen. Die Erscheinungen, welche beobachtet sind, fügen sich dieser Annahme gut ein. Die Ausgiebigkeit ist dann proportional einer einfachen Exponentialfunktion \(e^{-\alpha t}\) von \(t\), in der \(\alpha\) der ``Versiegungskoeffizient'' heißen kann; derselbe hängt nur von der Gestaltung des Bodens und von zwei physikalischen Konstanten ab, welche die Durchlässigkeit der das Becken speisenden Schichten ausdrücken. In diesem Falle erhält sich die Art des Abflusses bis zum Versiegen in dem Sinne, daß alle Ordinaten \(h\) der freien Oberfläche fortwährend ihre gegenseitigen Verhältnisse ungeändert haben, indem sie also in den verschiedenen Elementen der Oberfläche dieselben Neigungen bewahren und somit auch dieselben relativen Sickerungsgeschwindigkeiten in den tiefer liegenden Gebieten des Beckens. Bei beträchtlichen Tiefen dagegen sind die Höhen \(h\) nur ausnahmsweise das Produkt einer Funktion der Koordinaten mit einer Funktion der Zeit. Der einfachste Fall, bei dem dies eintritt, und bei dem daher eine sich erhaltende Art des Abflusses besteht, ist der eines Wasserbeckens mit horizontalem Grunde und vertikalen Seitenwänden rings herum, ausgenommen an dem Orte der Quelle. Dann verhalten sich die Ordinaten \(h\) der Oberfläche, welche in jedem Punkte die Höhe oberhalb der horizontalen Nullebene messen, umgekehrt wie die Zeit \(\tau = t_0 + t\), die von einem bestimmten Zeitpunkte \(t_0\) an gerechnet ist. Ein solcher Zustand ist sehr stabil. Die Ergiebigkeit der Quelle ist umgekehrt proportional mit \(\tau^2\). Diesem Falle kann derjenige fast gleichgeachtet werden, bei dem der Boden des Beckens mäßig geneigt, die anfängliche Wasserschicht hoch ist. Ein anderer Fall, bei welchem das Bett konkav oder sogar konvex ist, und ein sich erhaltender Zustand des Abflusses herrscht, wird dann weiter vom Verf. konstruiert. Hierbei berechnet sich die Ergiebigkeit der Quelle nach dem Ausdrucke \(\left(\frac k{1-e^{-k\tau}}\right)^2\cdot e^{-k\tau}\). Man könnte daher versuchen, durch diese Formel überhaupt die Ausbeute einer beliebigen Quelle während des Sommers darzustellen, wo die Bedingungen der Herleitung der Formel angenähert erfüllt sind. Bei sehr ergiebigen Quellen, die für städtische Wasserleitungen benutzt werden, kann die einfachere Näherungsformel \(Ae^{-at}\) benutzt werden. Wir mußten uns mit der Mitteilung einiger der allgemeinen Ergebnisse der Rechnungen begnügen, dagegen auf die Wiedergabe der partiellen Differentialgleichungen und der Methoden zu ihrer Integration verzichten. Hierüber sagt der Verf.: ``Aus der mathematischen Physik ist dies der einzige mir bekannte Fall einfacher, leicht erhältlicher, nicht auf das Produkt einer Funktion der Zeit mit einer Funktion der Koordinaten zurückführbarer Lösungen. Und das Verfahren, welches sie liefert, ist nicht weniger originell; denn ich kenne gleichfalls kein anderes Beispiel.''