Über lineare Randwertaufgaben der Potentialtheorie. (Q1503171)

Im ersten Teile der Abhandlung werden die grundlegenden Sätze der Potentialtheorie zusammengestellt, meist mit kurzer Angabe des Gedankengangs ihrer Herleitung. Dabei wird durch eine zweckmäßige Bezeichnung erreicht, daß alle Sätze sowohl für das logarithmische, als das Newtonsche Potential ohne jede Änderung gelten. Die hauptsächlichsten dieser Bezeichnungen sind folgende: Ist \(r_{pq}\) der Abstand der Punkte \(p\) und \(q\), so wird \[ \begin{aligned} g(p,q) &= \frac1{\pi}\log\left(\frac1{r_{pq}}\right)\text{ für die Ebene},\\ g(p,q) &= \frac1{2\pi}\frac1{r_{pq}}\text{ für den Raum},\\ h(\vartheta,t) &= \frac{\cos(n_\vartheta,r_{\vartheta t})}{\pi r_{\vartheta t}}\text{ für die Ebene},\\ h(\vartheta,t) &= \frac{\cos(n_\vartheta,r_{\vartheta t})}{2\pi r_{\vartheta t}^2}\text{ für den Raum}\end{aligned} \] gesetzt. Das Potential \(V\) einer einfachen Schicht und das Potential \(W\) einer Doppelbelegung werden dabei durch die Gleichungen \[ V(p) = \int g(p,\vartheta)\mu(\vartheta)d\vartheta,\quad W(p) = \int k(\vartheta)h(\vartheta,p)d\vartheta \] definiert, unterscheiden sich also von den der üblichen Definition entsprechenden Werten durch konstante Faktoren. Infolgedessen lauten manche Sätze hier etwas anders als gewöhnlich, z. B. heißt der Satz über die Diskontinuitäten der ersten Ableitungen von \(V\): Die normalen Ableitungen von \(V(p)\) erleiden an einem regulären Punkte \(t\) der Begrenzung, wo die Belegung \(\mu(t)\) eine integrierbare Funktion ist, Stetigkeitssprünge, welche durch folgende Gleichungen gegeben sind: \[ \begin{aligned} \frac12\left[\frac{\partial V}{\partial n}(t^-) - \frac{\partial V}{\partial n}(t^+)\right] &= \mu(t),\\ \frac12\left[\frac{\partial V}{\partial n}(t^-) + \frac{\partial V}{\partial n}(t^+)\right] &= \int h(t,\vartheta)\mu(\vartheta)d\vartheta;\end{aligned} \] und analog lautet der Satz über die Diskontinuität von \(W\). Im zweiten Teil der Arbeit werden sodann die durch Einführung des Poincaréschen Parameters \(\lambda\) verallgemeinerte erste und zweite Randwertaufgabe behandelt, und zwar für ein Gebiet, dessen Begrenzung aus \(N\) getrennt liegenden, sich nirgends durchschneidenden oder berührenden geschlossenen Einzelkurven oder -flächen von beliebigem Zusammenhange besteht. Die Aufgaben selbst lauten: Es ist das Potential \(W(p)\) einer Doppelschicht und das \(V(p)\) einer einfachen Schicht zu bestimmen, welche in jedem regulären Punkte der Begrenzung die Gleichungen \[ \frac12[W(t^+) - W(t^-)] - \frac12\lambda[W(t^+) + W(t^-)] = f(t), \] \[ \frac12\left[\frac{\partial V}{\partial n}(t^-) - \frac{\partial V}{\partial n}(t^+)\right] - \frac12\lambda\left[\frac{\partial V}{\partial n}(t^-) + \frac{\partial V}{\partial n}(t^+)\right] = f(t) \] erfüllen, in denen \(\lambda\) einen gegebenen konstanten Parameter, \(f(t)\) eine in der Begrenzung des Gebiets bekannte Ortsfunktion bezeichnet. Sind \(\varkappa(\vartheta)\), bzw. \(\mu(\vartheta)\) die Dichtigkeiten, mit denen man die Begrenzung des Gebiets belegen muß, um \(W\), bzw. \(V\) zu erhalten, so ergeben die Sätze über die Unstetigkeiten von \(W\) und \(\frac{\partial V}{\partial n}\) sofort: \[ \begin{aligned} \varkappa(t) - \lambda\int\varkappa(\vartheta)h(\vartheta,t)d\vartheta &= f(t),\\ \mu(t) - \lambda\int h(t,\vartheta)\mu(\vartheta)d\vartheta &= f(t).\end{aligned} \] Es sind das Funktionalgleichungen von derselben Form, wie sie in der vorhergehenden Arbeit behandelt sind. Sie lassen sich sofort mittels einer Hülfsfunktion \(H(t,s)\) lösen, die ein Spezialfall der oben (S. 776, Gl. 2) definierten Funktion \(F(s,t)\) ist und aus dieser entsteht, wenn man \(f(\vartheta,t)\) durch \(-h(\vartheta,t)\) ersetzt. Demgemäß läßt sich \(H(t,s)\) als Quotient zweier ganzen transzendenten Funktionen von \(\lambda\) darstellen. Von dieser Hülfsfunktion \(H(t,s)\) wird nun gezeigt, daß sie, als Funktion von \(\lambda\) betrachtet, als einzige Singularitäten nur einfache reelle Pole \(\lambda_0\) besitzt, deren absoluter Betrag nicht kleiner als 1 ist. Eine besondere Stellung nehmen die Werte \(\lambda_0 = \pm1\) ein; sie sind die absolut kleinsten Pole von \(H(t,s)\), falls ihnen Lösungen der Gleichungen (6) und (6a) (776) entsprechen, wenn in diesen \(f(s,\vartheta)\) durch \(-h(t,\vartheta)\) ersetzt wird. Es wird gezeigt, daß diese kleinsten Lösungen wirklich vorhanden sind, und daraus folgt weiter, daß es in dem betrachteten Gebiet genau \(N\) Potentiale der einfachen Schicht gibt, welche nur auf je einer Einzelkurve oder Einzelfläche eine nicht verschwindende Gesamtbelegung besitzen und auf jeder der Kurven oder Flächen konstante Werte annehmen. Es ist dies das Fundamentalsystem der Konduktorpotentiale, und aus ihm ergeben sich sofort die Lösungen der übrigen Konduktorprobleme. Zurückkehrend zu den Randwertaufgaben, reduziert der Verf. die Lösung derselben auf die Bestimmung der zugehörigen Greenschen Funktion \(G\), die durch die Gleichung \[ G(q,p) - g(q,p) = \lambda\int G(q,\vartheta)\lambda(\vartheta,p)d\vartheta \] definiert wird. Sie steht zu der oben erwähnten Hülfsfunktion \(H(t,p)\) in analoger Beziehung wie \(g(p,q)\) zu \(h(t,p)\); dabei bezeichnen \(p\) und \(q\) beliebige Punkte des Gebiets, \(t\) einen Randpunkt. Der Reziprozitätssatz für \(G\) lautet hier: Liegen \(p\) und \(q\) entweder beide im Innengebiete oder beide im Außengebiete oder beide in der Begrenzung, so ist \[ G(p,q) = G(q,p). \] Bezeichnen aber \(p\) einen Innen-, \(q\) einen Außen-, \(t\) einen Randpunkt, so ist \[ \begin{aligned} (1+\lambda)G(p,q) &= (1-\lambda)G(q,p),\\ G(t,p) &= (1+\lambda)G(p,t),\\ G(t,q) &= (1-\lambda)G(q,t).\end{aligned} \] Es folgt die Darstellung von \(G\) in der Nähe einer singulären Stelle \(\lambda = \lambda_0\) nach Analogie der in der vorigen Arbeit abgeleiteten allgemeineren Resultate. Die hierbei auftretenden Funktionen \(\Phi\) sind die Poincaréschen Fundamentalfunktionen. Weiter werden die Bedingungen ermittelt, unter denen die Randwertaufgabe auch in einem singulären \(\lambda\)-Punkte lösbar ist. Dieselbe Frage wird sodann durch besondere Betrachtungen für die Fälle \(\lambda = \pm1\) erledigt. Das schließliche Resultat läßt sich so zusammenfassen: ``Die erste Randwertaufgabe (das elektrostatische Problem) \[ W(t^+) = f(t),\qquad W(t^-) = f(t) \] ist bei beliebig vorgegebener Funktion \(f(t)\), welche nur integrable Unstetigkeiten besitzt, stets in eindeutiger Weise lösbar, wobei beim Außenproblem über das Verhalten im Unendlichen noch Bedingungen auferlegt werden dürfen. --- Die zweite Randwertaufgabe (das hydrodynamische Problem) \[ \frac{\partial V}{\partial n}(t^+) = f(t),\qquad \frac{\partial V}{\partial n}(t^-) = f(t) \] ist bei gleicher Voraussetzung über die Randfunktion \(f(t)\) im Außengebiete stets, im Innengebiete dann und nur dann lösbar, wenn das Integral über die Berandung, \(\smallint f(t)dt\), verschwindet.''