D'une condition nécessaire pour la stabilité initiale d'un milieu élastique quelconque. (Q1503209)

Ein elastisches Medium sei von einer festen Oberfläche \(S\) eingeschlossen. Die Koordinaten eines materiellen Punktes seien \(a\), \(b\), \(c\), nach einer Deformation \(a + \xi\), \(b + \eta\), \(c + \zeta\); ferner sei \(\varepsilon_1 = \partial\xi/\partial a\), ...; \(\gamma_1 = \partial\eta/\partial c + \partial\zeta/\partial b\), ... . Das thermodynamische Potential wird gegeben durch \(\int \varrho_0\Phi d\varpi\), wo \[ \begin{multlined} \Phi = \varphi_0(\varrho_0,T) + \varphi_1(\varrho_0,T)(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \varepsilon_3)\\ + \varphi_2(\varrho_0,T,\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3) +\cdots.\end{multlined} \] Hierin bezeichnet \(\varrho\) die Dichte, \(T\) die Temperatur, \(\varphi_2\) eine quadratische Form in \(\varepsilon_i\), \(\gamma_i\). Die nicht hingesetzten Glieder sind wenigstens von der dritten Ordnung unendlich klein, wenn \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\) überall von der ersten Ordnung unendlich klein sind. Der Verf. beweist folgenden Satz: Wenn in einem elastischen Medium \(\varphi_2\) eine definite negative Form in \(\varepsilon_i\), \(\gamma_i\) ist, und wenn die Grenzfläche festgehalten wird, so ist das Gleichgewicht des Mediums instabil. Die Einwirkungen der Viskosität können bestehen oder fehlen, können die Bewegung fördern, statt sie zu hemmen, ohne daß der Satz ungültig würde. Wenn ferner in einem glasartigen Medium die beiden Ungleichheiten gelten \(\mu < 0\), \(3\lambda + 2\mu < 0\), kann der Zustand dieses Mediums, sei es zähe oder nicht, stabil nicht bleiben, wenn man die verschiedenen Punkte der Grenzfläche fest annimmt.