Le deformazioni tipiche dei corpi solidi elastici. Memoria \(\text{II}^{\text{a}}\). (Q1503256)

Die Abhandlung ist die Fortsetzung der unter dem gleichen Titel in Annali di Mat. 7, 141-230 erschienenen (F. d. M. 33, 817, 1902, JFM 33.0817.03). Gegenwärtig wird die Aufgabe behandelt, die analytischen Ausdrücke der drei typischen Deformationen (vgl. das Referat a. a. O.) mit Hülfe der allgemeineren Form des Elastizitätspotentials aufzustellen. Der Anfang wird mit einer vorbereitenden Aufgabe gemacht, die in der Ermittlung der Deformation besteht, welche in einem unbestimmten elastischen Körper von einer in einem Punkte konzentrierten Kraft hervorgerufen wird, oder nach einem Ausdrucke des Verf. der ``Deformation durch elementare Beanspruchung''. Diese Deformation bildet das Analogon zu dem, was in der Theorie der Potentialfunktionen die Funktion \(1/r\) ist, wo \(r\) der Abstand eines variabeln Punktes von einem festen Punkte ist. Es genügt die Voraussetzung, daß\ die beanspruchende Kraft an dem Ursprung der Koordinaten angreift, und daß\ ihre Richtung die einer der rechtwinkligen Koordinatenachsen, ihr Wert die Einheit ist. Indem man so der Kraft der Reihe nach die Richtungen der drei Achsen beilegt, gelangt man zur Forderung der Aufstellung von drei Ternen von Funktionen, von denen jede einzelne die Komponenten der Verrückung für die entsprechende Achsenrichtung der Kraft gibt. Dann wird bewiesen, daß\ die Aufstellung jener neun Funktionen von der Untersuchung einer passenden Lösung einer linearen partiellen Differentialgleichung sechster Ordnung abhängt, deren konstante Koeffizienten aus denen der Elastizität gebildet werden. Hierauf werden die analytischen Ausdrücke der drei typischen Deformationen vermittels der erwähnten neun Funktionen gegeben; zugleich wird bewiesen, daß\ sie die Eigenschaften besitzen, welche, wie in der vorigen Abhandlung gezeigt war, für jeden der drei Typen charakteristisch sind. Dann kehrt die Darstellung zu der fundamentalen Aufgabe zurück, die geforderte Lösung der erwähnten partiellen Differentialgleichung sechster Ordnung zu suchen; die Aufgabe wird in einem besonderen Falle vollständig gelöst, nachdem gezeigt ist, daß\ dieser Fall drei sehr wichtige umfaßt: den der isotropen Körper, den der Körper mit einer Elastizitätsachse und den des elastischen Mediums von \textit{Green}. Schließlich werden die vorigen Ergebnisse auf die isotropen Körper angewandt. In einer Fußnote gibt der Verf. an, daß\ diese seine Untersuchungen bis 1891 zurückreichen und vor dem Erscheinen der Arbeit von \textit{Fredholm} in Acta Math. 23, 1-42, abgeschlossen waren: ``Sur les équations d'équilibre d'un corps solide élastique'' (F. d. M. 30, 715, 1899, JFM 30.0715.02), wie dies durch einen abgedruckten Brief von \textit{Cerruti} bestätigt wird.