Mathematical analysis of wave propagation in isotropic space of \(p\) dimensions. (Q1503290)

Gegenstand der abstrakten Wellentheorie ist im allgemeinen die Prüfung der Lösungen von \(c^{2}\nabla^{2}\varphi=\ddot{\varphi}\) gewesen, und zwar bei drei Dimensionen in der Form von Oberflächenintegralen vom \textit{Kirchhoff}schen oder \textit{Poisson}schen Typus. Hieraus ist das \textit{Huygens}sche Prinzip bei den wirklichen Wellenbewegungen hergeleitet worden. Jüngst hat \textit{Love} die Modifikation dieser Resultate in dem Falle von Wellenbewegungen mit Unstetigkeiten an Wellenfronten betrachtet. Ohne Berücksichtigung dieser letzteren Fälle geht die gegenwärtige Arbeit darauf aus, die Methoden der abstrakten Wellentheorie auf die allgemeine Gleichung auszudehnen: \[ \frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{2}^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial x_{p}^{2}}=\frac{1}{c^{2}}\cdot\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}}. \] Zunächst wird eine Verallgemeinerung der \textit{Whittaker}schen Lösungsform gegeben; aus dieser werden die verschiedenen Typen von \(\varphi\) abgeleitet, welche hypersphärische divergierende Wellen darstellen. Mittels dieser Formen wird eine allgemeine Lösung von \textit{Kirchhoff}schen Typus geprüft, und schließlich werden von einem allgemeineren Gesichtspunkte aus der \textit{Kirchhoff}sche und der \textit{Poisson}sche Typus erhalten und diskutiert.