Wave fronts considered as the characteristics of partial differential equations. (Q1503291)

Die Anwendung der Theorie der Charakteristiken partieller Differentialgleichungen auf das Problem datiert von \textit{Riemanns} Arbeit über die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite, und die Methode ist von \textit{Volterra} (1894) zur Ableitung allgemeiner Lösungen von Bewegungsgleichungen benutzt worden. Die Vergleichung von Wellenfronten mit Charakteristiken ist von \textit{Coulon} (1902) und \textit{Hadamard} (1903) gemacht worden. In der vorliegenden Abhandlung wird eine neue Darstellung des Gegenstandes gegeben unter Benutzung eines Berichtes über die Charakteristikentheorie von \textit{Hedrick} (1903). Während sonst die Funktion, welche die Störungen definiert, an der Grenze des gestörten Gebietes des Mediums nebst ihren ersten Differentialquotienten als stetig vorausgesetzt wurde, ist diese Beschränkung gemäß\ einer Untersuchung von \textit{Love} (1903) fallen gelassen. In der Charakteristikentheorie wird eine Wellenfront definiert als ein Schnitt einer Mannigfaltigkeit, die der Hauptgleichung der Charakteristiken der partiellen Differentialgleichung genügt. Wellenfronten mit wesentlichen Singularitäten werden sowohl für eine einzelne Gleichung, als auch für das System elektrischer Gleichungen im freien Äther diskutiert, und es wird gezeigt, daß\ dank der Linearität der Gleichungen keine Notwendigkeit für die Stetigkeit der ersten Differentialquotienten der Funktion an der Wellenfront vorliegt. Falls die Funktion selbst stetig ist, wird dieselbe Hauptgleichung befriedigt. Im Zusammenhang mit der Transformation der Differentialgleichungen wird eine Invarianten-Eigenschaft der Wellenfronten gezeigt. Davon wird dann in der elektrischen Theorie der Wellenfronten und der Strahlen in bewegten Medien Gebrauch gemacht, ebenso auch in dem Falle eines theoretisch möglichen Mediums, das elektrische und magnetische Aeolotropie mit verschiedenen Hauptachsen besitzt.