Notiz über Funktionaltheoreme. (Q1504030)

Von den Funktionalgleichungen \[ \begin{matrix}\l & \l & \l\\ f_1(z) & + & \varphi_1(u)=\psi_1(z+u), \\ f_2(z) & \cdot & \varphi_2(u) = \psi_2(z+u), \\ f_3(z) & \cdot & \varphi_3(u)=\psi_3(zu), \\ f_4(z) & + & \varphi_4(u)=\psi_4(zu) \end{matrix} \] gelangt man leicht zu einfacheren, in denen \(\varphi_\nu=\psi_\nu=f_\nu\) zu setzen ist, und deren Lösung schon von \textit{Cauchy} angegeben wurde. In einem zweiten Teil wird das Funktionaltheorem \[ F[f_1(z_1),f_2(z_2),\dots,f_n(z_n)]=0 \] erörtert. \(F\) bedeutet die gegebene Verbindung der zu bestimmenden Funktionen \(f\). Sind \(z_1,\dots,z_x\) unabhängig, \(z_{x+1},\dots,z_n\) aber Funktionen dieser Variabeln, so ist eine notwendige Bedingung für die Lösbarkeit: \[ \frac{\partial}{\partial z_\lambda} [F(f_1,f_2,\dots,f_n)]=0\quad (\lambda=1,2,\dots,x). \] Es werden Bedingungen angegeben, unter denen das Bestehen dieser Gleichungen gelegentlich auch hinreichend sein kann. -- Drei einfache Beispiele.