Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d'\textit{Abel}. (Q1504036)

In dem ersten Abschnitt gibt \textit{Lerch} einen neuen, elementaren Beweis für das Theorem von \textit{Weierstraß}, daß jede stetige Funktion einer reellen Veränderlichen für jedes endliche Intervall in eine gleichmäßig konvergente Reihe entwickelt werden kann, deren Glieder ganze rationale Funktionen sind. Der zweite Abschnitt enthält Untersuchungen über die Formel \[ J(a)=\infty_0^\infty e^{-ax} \varphi(x)dx. \] Unter Anwendung des Theorems von \textit{Weierstraß} hatte \textit{Lerch} in einer früheren Abhandlung gezeigt (F. d. M. \(24\), 363-364,1892, JFM 24.0363.01), daß, wenn es für eine erzeugende Funktion \(J(a)\) eine determinierende Funktion \(\varphi(x)\) gibt derart, daß jene Formel immer gilt, sobald \(a\) nur hinreichend groß ist, es keine zweite Funktion \(\varphi(x)\) derselben Beschaffenheit gibt. Wie man leicht erkennt, kommt die Frage nach der Bestimmtheit der Funktion \(\varphi(x)\) zurück auf die Frage, wann das Integral \(J(a)\) verschwindet. Wie Lerch jetzt beweist. kann \(J(a)\) nicht für eine unendliche Reihe positiver Werte von \(a\) verschwinden, die eine arithmetische Reihe bilden, ohne daß es identisch verschwindet. Hieraus folgt, daß die Produkte \[ f(a)\sin ka,\quad f(a)\cos ka,\quad \frac{f(a)}{\varGamma(b-ka)}\,, \] in denen \(k\) eine positive Konstante und \(f(a)\) eine Funktion der reellen, positiven Variable \(a\) bedeutet, die von einem bestimmten Werte von \(a\) an für jeden endlichen Wert von \(a\) endlich bleibt, ohne identisch zu verschwinden, nicht in der Form \(J(a)\) für unbeschränkt veränderliches \(a\) dargestellt werden können. Im dritten Abschnitte wird mit Hülfe der erzeugenden Funktion \(J(a)\) der Wert der Integrale \[ \int_0^\infty \begin{matrix} \cos \\ \sin \end{matrix} (nx)\;\frac{x^s}{1+x^2}dx \] bestimmt.