Über die Fortsetzbarkeit gewisser \textit{Taylor}scher Reihen. (Q1504045)

Wenn man gesagt hat, daß eine Potenzreihe mit endlichem Konvergenzkreise ``im allgemeinen'' ihren Konvergenzkreis zur natürlichen Grenze habe, so ist doch der Ausdruck ``im allgemeinen'' der Erläuterung bedürftig; denn die Mächtigkeit der nicht fortsetzbaren Reihen ist nicht größer als z. B. die Mächtigkeit der Reihen, die auf dem Konvergenzkreise nur einen singulären Punkt besitzen. Ausgedehnte Klassen fortsetzbarer Potenzreihen hatte bereits \textit{Leau} (F. d. M. 30, 365(?)-369, 1899, JFM 30.0368.01 u. JFM 30.0368.02) angegeben und folgenden Satz bewiesen: Es sei \(g\) eine ganze positive Zahl und \[ P(y)=c_0+c_1y+c_2y^2+\cdots \] eine für \[ |y| \leqq \tfrac 1g \] konvergente Potenzreihe. Alsdann hat der durch die Potenzreihe \[ \sum_{n=1}^\infty P \left( \frac 1n \right) x^n \] definierte eindeutige Zweig einer analytischen Funktion \(F(x)\) in der längs des Stückes der reellen Achse \((1 \dots \infty)\) aufgeschnittenen Ebene keinen singulären Punkt. \textit{Faber} präzisiert diesen Satz dahin, daß der Schnitt \((1 \dots \infty)\) nur ein künstlicher ist, indem der Zweig von \(F(x)\) nur die singulären Punkte 1 und \(\infty\) besitzt; er spricht die Vermutung aus, daß auch die andern Zweige nur die singulären Punkte \(0, 1, \infty\) aufweisen möchten. Einen ähnlichen Satz, wie den vorher angegebenen, hatte \textit{Leau} für die Potenzreihen \[ \sum_{n=1}^\infty G(n)x^n \] bewiesen, in denen \(G(y)\) eine ganze transzendente Funktion ist, die schwächer unendlich wird, als \(e^{ay}\) das heißt, wo bei beliebig gegebenem, positivem \(a\) eine Zahl \(R\) existiert, so daß für \(r > R\) die Ungleichheit gilt: \[ |G(re^{i \varphi})|< e^{ar}. \] \textit{Faber} vervollständigt diesen Satz dahin, daß diese Potenzreihe eine eindeutige Funktion von \(x\) definiert, die sich in der ganzen Ebene mit Ausnahme des Punktes \(x=1\) regulär verhält, während der Punkt \(x=1\) eine wesentlich singuläre Stelle ist; reduziert sich \(G(y)\) auf eine rationale Funktion, so wird \(x=1\) ein Pol. Beispiele sind die Reihen: \[ \sum_{n=0}^\infty\;\frac{\sin \pi \sqrt n}{\pi \sqrt n}\;x^n \quad \text{und} \quad \sum_{n=0}^\infty(\sin \pi \sqrt n)^2 x^n, \] bei denen sofort einleuchtet, daß der Quotient von je zwei aufeinander folgenden Koeffizienten keine Grenze hat, und wo nicht einmal die \(r\)-ten Wurzeln des \(r\)-ten Koeffizienten sich einer bestimmten Grenze nähern (vergl. \textit{Hadamard,} F. d. M. \(24\), 359, 1892,JFM 24.0359.01). Sehr bemerkenswert ist, daß auch der umgekehrte Satz gilt: Hat man eine eindeutige Funktion \(F(x)\), die sich in der ganzen Ebene mit Ausnahme der einen wesentlich singulären Stelle \(x=1\) regulär verhält, und lautet die Entwicklung von \(F(x)\) nach steigenden Potenzen von \(x\): \[ F(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n, \] so existiert stets eine ganze transzendente Funktion \(G(y)\) von der Beschaffenheit, daß 1. \(a_n = G (n)\) ist, 2. die Ungleichheit gilt \[ |G(re^{i \varphi})|< e^{ar} \quad \text{für} \quad r>R. \] Reduziert sich die wesentlich singuläre Stelle \(x = 1\) auf einen Pol der Ordnung \(m\), so reduziert sich die Funktion \(G(y)\) auf eine rationale Funktion der Ordnung \(m - 1\). Nur in losem Zusammenhange mit dem Vorhergehenden stehen die Betrachtungen des letzten Abschnittes, in denen \textit{Faber} für den \textit{Hadamard}schen Satz über die Beziehungen zwischen den Singularitäten der Funktionen \[ F(x)\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \] und \[ F_1(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\int_0^1 V(t) t^n dt \cdot x^n \] einen neuen Beweis liefert; während \textit{Hadamard} sich des \textit{Cauchy}schen Integrals bedient hatte, benutzt \textit{Faber} als Hülfsmittel den \textit{Weierstraß}schen Satz über Doppelreihen, der auch in den vorhergehenden Abschnitten eine wichtige Rolle gespielt hatte.