Über Tchebychefsche Annäherungsmethoden. (Q1504051)

Unter einer \textit{Tschebyschef}schen Annäherung versteht der Verf. eine solche, welche durch die Forderung bestimmt wird, daß das Maximum der begangenen Fehler möglichst klein sei; dabei kann die Gesamtheit der in Betracht kommenden Fehler sich entweder auf ein kontinuierliches Intervall oder auf eine Anzahl diskreter Punkte beziehen. Im letzteren Falle wird eine \textit{Tschebyschef}sche Annäherung von der Lösung folgenden Problems abhängig gemacht: Gegeben ist eine Anzahl von Punkten im \(n\)-dimensionalen Raume \(x_k^{{(1)}},x_k^{{(2)}},\dots,x_k^{(n)}\) \((k=1,2,3,\dots)\), die in zwei Gruppen zerlegt sind; man soll entscheiden, ob es eine ``Ebene'' \[ f=a_1x^{{(1)}} + a_2x^{{(2)}}+\cdots +a_nx^{(n)}+a_{n+1}=0 \] gibt, welche beide Gruppen trennt, so daß also die Funktion \(f\) positive Werte für sämtliche Punkte der ersten, negative für sämtliche Punkte der zweiten Gruppe annimmt. Es wird nun gezeigt, daß, wenn eine Anzahl von Punkten gegeben sind, die nicht sämtlich in einer ``Ebene'' liegen, sich stets ein konvexes Polyeder konstruieren läßt, dessen Eckpunkte sämtlich zu den gegebenen Punkten gehören, und in dessen Innerem alle gegebenen Punkte gelegen sind. Sind \(P\) und \(\overline{P}\) zwei konvexe Polyeder, die ganz außer einander liegen, derart, daß kein Punkt zugleich im Inneren von \(P\) und \(\overline{P}\) gelegen ist, so gibt es eine lineare Funktion \(L=p^{{(1)}}x^{{(1)}} + \cdots +p^{(n)}x^{(n)} + p^{(n+1)}\), welche für die Punkte im Innern von \(P\) positive, für die Punkte im Innern von \(\overline{P}\) negative Werte annimmt. Lassen sich zwei solche konvexen Polyeder \(P\) und \(\overline{P}\) aber nicht trennen, so kann man von ihren Eckpunkten stets \(n+2\) so auswählen, daß es für diese bereits unmöglich ist, eine Linearfunktion \(L\) zu bestimmen, die für die Punkte von \(P\) positiv und für die Punkte von \(\overline{P}\) negativ ausfällt. Diese Sätze werden sodann in der Weise angewendet, daß mit ihrer Hülfe für eine Anzahl von Raumpunkten \[ p_1=(x_1,y_1,z_1),\quad p_2=(x_2,y_2,z_2),\dots,p_\nu=(x_\nu,y_\nu,z_\nu) \] eine \textit{Tschebyschef}sche Annäherungsfunktion \[ z=a_1 x^2 + a_2 xy + a_3 y^2 + a_4 x + a_5 y + a_6 \] bestimmt wird, für welche die größte Abweichung \(|z-z_\mu|\) möglichst klein ausfällt (vgl. F. d. M. \( 33\), 397, 1902, JFM 33.0397.03).