Sur l'application de la théorie des résidus au prolongement analytique des séries de Taylor. (Q1504056)

Es sei \(f(z,a)\) eine Funktion der komplexen Veränderlichen \(z=re^{i \varphi}\), die außerdem von einem reellen, positiven Parameter \(a\) abhängt und folgende Bedingungen erfüllt: 1. Sie ist bei beliebigem \(r\) holomorph für \(-\varphi_0 \leqq \varphi \leqq \varphi_0\) und bei beliebigem \(\varphi\) für \(r < 1\); \(\varphi_0\) und \(\varphi_0'\) sind positive Winkel zwischen 0 und \(\pi\), 2. für \(-\varphi_0' \leqq \varphi \leqq \varphi_0\) ist \[ |f(z,a)|<e^{rK(a)}, \] wo \(K(a)\) für \(a = 0\) verschwindet; 3. nimmt \(a\) gegen Null ab, so strebt \(f(z,a)\) gleichförmig der Grenze 1 zu in jedem endlichen Gebiete, wo die Bedingungen 1. bestehen; 4. es ist: \[ \lim_{n=\infty} |f(n,a)|^{\frac 1n}=0. \] Alsdann stellt die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty f(n,a)x^n \] eine ganze Funktion der Veränderlichen \(x\) dar, die, wenn \(a\) gegen Null abnimmt, in jedem im Innern des Kreises \(|x|<1\) enthaltenen Gebiete gleichmäßig der Grenze \(1/(1-x)\) zustrebt. Ist jetzt eine beliebige, konvergente \textit{Taylor}sche Reihe \[ F(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \] gegeben, so gilt das Theorem: Geht \(a\) gegen Null, so strebt die ganze Funktion \[ \sum_{n=0}^\infty a_n f(n,a)x^n \] gleichmäßig der Grenze \(F(x)\) zu in einem jeden Gebiete, das im Innern eines gewissen Gebietes \(S_F\) liegt, dessen ziemlich verwickelte Definition hier nicht gegeben werden kann. Auf diese Weise erhält man für \(F(z)\) den doppelten Grenzausdruck \[ F(x)=\lim_{a=0}\;\sum_{n=0}^\infty\;a_n f(n,a)x^n, \] der, wie der Verf. zeigt. auch durch den einfachen Grenzausdruck: \[ F(x)=\lim_{a=0}\;\sum_{n=0}^{\nu_a}\;a_n f(n,a)x^n \] ersetzt werden kann, wo für jeden Wert von \(a\) die ganze Zahl \(\nu_a\) durch die Bedingung zu bestimmen ist, daß, wenn \(\varepsilon(a)\) irgend eine positive, für \(a = 0\) verschwindende Funktion von \(a\) ist, für \(n>\nu_a\): \[ |f(n,a)|^{\frac 1n} < \varepsilon(a) \] sein soll. Zum Schluß werden die Winkel \(\varphi_0\) und \(\varphi_0'\) spezialisiert, und es ergeben sich so Zusammenhänge mit den Untersuchungen von \textit{Borel, Le Roy, Mittag-Leffler} und \textit{Phragmén.}