Bemerkungen zu einem Satze von \textit{Sophus Lie} über algebraische Funktionen. (Q1504083)

Die Arbeit ist veranlaßt durch einen Aufsatz von \textit{Koenigsberger,} in dem dieser (Acta Math. 26, 171-188) für einen ihm 1892 von \textit{Lie} mitgeteilten Satz einen recht umständlichen analytischen Beweis gegeben hat. Der Verf. zeigt, wie verblüffend einfach sich der Beweis des Satzes auf dem von \textit{Lie} selbst benutzten Wege gestaltet, den \textit{Lie}, wenn auch nur für den einfachsten Fall, um 1890 in seinen Vorlesungen mitgeteilt hat. Der Satz lautet: Läßt sich aus \(m + 1\) Gleichungen von der Form: \[ \nu_k=A_{k_1}(t_1)+\cdot+A_{km}(t_m)\quad (k=1,\dots,m+1) \] nur eine Relation: \(\varOmega(\nu_1,\dots,\nu_{m+1})=0\) zwischen den \(\nu\) allein ableiten, und besteht vermöge \(\varOmega=0\) keine Relation von der Form \[ \varSigma a_k\;\frac{\partial \varOmega}{\partial \nu_k}=0, \] in der die Konstanten \(a_1,\dots,a_{m+1}\) nicht sämtlich verschwinden, so ist die Gleichung \(\varOmega=0\) dann und nur dann algebraisch, wenn je zwei Funktionen \(A_{ki}(t_i)\) und \(A_{ji}(t_i)\) durch eine algebraische Relation verbunden sind.