Zur Theorie allgemeiner Zetafunktionen. (Q1504090)

Da die \textit{Riemann}sche Zetafunktion \(\zeta(s)\) eine Integraldarstellung zuläßt, in welche die Thetafunktion mit der Charakteristik \(|{}_0^0|\) eintritt, so kann auch eine Verallgemeinerung der Zetafunktion in dem Sinne erfolgen, daß an die Stelle obiger die allgemeinste Charakteristik \(|\begin{smallmatrix} g \\ h \end{smallmatrix}|\) tritt, und man kann von hier aus auch zur Aufstellung einer Zetafunktion, die in analoger Beziehung zu den Thetas mehrerer Veränderlichen steht, gelangen. Der Verf. geht demgemäß aus von der Zetafunktion erster Ordnung mit der Charakteristik die schon von \textit{Lipschitz} (J. für Math. 105, 127; F. d. M. 21, 176, 1889, JFM 21.0176.01) untersucht worden ist: \[ Z \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix}\;(s)=\sum_{m=-\infty}^{+\infty} \frac{e^{2\pi imh}}{[(g+m)^2]^{\frac s2}}\,, \] wobei \(g\) und \(h\) als reell vorausgesetzt werden und im Falle eines ganzzahligen \(g\) das Glied mit \(m=-g\) fortzulassen ist. Von dieser nur für \(\Re(s)>1\) geltenden Darstellung gelangt man auf bekanntem Wege zu der uneingeschränkt gültigen Gleichung: \[ \pi^{-\frac s2} \varGamma \left( \frac s2 \right) Z \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix} (s) = \int_1^\infty dzz^{\frac s2-1} \vartheta \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix} (0,z) + e^{-2\pi igh} \int_1^\infty dzz^{\frac{1-s}{2}-1} \vartheta \begin{vmatrix} h \\ -g \end{vmatrix} (0,z), \] in welcher aber \(g,h\) als nicht ganzzahlig vorausgesetzt werden müssen, während im entgegengesetzten Falle gewisse Modifikationen eintreten. Hieraus folgt: Die Zetafunktion ist, solange \(h\) keine ganze Zahl ist, eine ganze transzendente Funktion von \(s\); im Falle des ganzzahligen \(h\) besitzt sie nur noch bei \(s=1\) einen Pol mit dem Residuum 2. Sie genügt überdies der von \textit{Lipschitz} gefundenen Transformationsgleichung \[ e^{2\pi igh} \pi^{-\frac s2} \varGamma \left( \frac s2 \right) Z \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix} (s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}} \varGamma \left( \frac{1-s}{2} \right) Z \begin{vmatrix} h \\ -g \end{vmatrix} (1-s). \] Von hier aus gelangt der Verf., indem er in die Reihe eine quadratische Form \[ \varphi((x))=\sum_{\mu-1}^p\;\sum{\nu=1}^p c_{\mu \nu}x_\mu x_\nu \] mit positivem reellen Teile einführt, zur ``Zetafunktion \(p\)-ter Ordnung'' mit der Charakteristik \(\begin{vmatrix} g_1g_2 \dots g_p \\ h_1h_2 \dots h_p \end{vmatrix}\): \[ Z \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix} (s)_\varphi - \sum_{m_1 \dots m_p} \frac{e^{2\pi i \sum_{\mu=1}^p m_\mu h_\mu}}{\varphi((m+g))^{\frac s2}} \] \[ (m_1,m_2,\dots,m_p=-\infty \cdots +\infty), \] welche Reihe konvergiert, so lange \(\Re(s)>p\) ist. Die Verallgemeinerung des vorigen Verfahrens führt nunmehr zu der bei unbeschränkt veränderlichem \(s\) geltenden Darstellung: \[ \pi^{-\frac s2} \varGamma \left( \frac s2 \right) Z \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix} (s)_\varphi = \int_1^\infty dzz^{\frac s2-1} \vartheta \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix} (0,z)_\varphi + \frac{e^{-2\pi i \varSigma g_\mu h_\mu}}{\sqrt{|c_{\mu \nu}|}}\;\int_1^\infty\;dzz^{\frac{p-s}{2}-1}\;\vartheta \begin{vmatrix} \;h \\ -g \end{vmatrix} (0,z)_\varPhi, \] worin \(\varPhi\) die reziproke Form von \(\varphi\) bedeutet. Für diese gilt die Transformationsgleichung: \[ \pi^{-\frac s2} \varGamma \left(\frac s2 \right) Z \begin{vmatrix} g \\ h \end{vmatrix} (s)_\varphi = \frac{e^{-2\pi i \varSigma g_\mu h_\mu}}{\sqrt{|c_{\mu \nu}|}}\;\pi^{-\frac{p-s}{2}}\, \varGamma \left( \frac{p-s}{2} \right) Z \begin{vmatrix}\;h \\ -g \end{vmatrix} (p-s)_\varPhi. \] Die Zetafunktion zweiter Ordnung für \(s=2\) führt zu der Reihe, die \textit{Kronecker} für die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen als fundamental erkannt hat, und damit zu der sogenannten \textit{Kronecker}schen Grenzformel. Die Verallgemeinerung des Verfahrens auf Thetafunktionen von \(p\) Variabeln führt ganz analog zur Bestimmung des Residuums, welches die Zetafunktion \(p\)-ter Ordnung mit der Charakteristik \(|{}_0^0|\) in ihrem einzigen endlichen Pole \(s=p\) besitzt.