Sur l'approximation des nombres par des nombres rationnels. (Q1504114)

Ist \(\alpha\) eine reelle Zahl, so gibt es unendlich viele Paare ganzer Zahlen \(p,q\), für welche die Ungleichung \[ \left| \frac pq - \alpha \right| < \frac{1}{q^2\sqrt 5} \] stattfindet, und es darf, wenn dies für alle \(\alpha\) gelten soll, \(\sqrt 5\) durch keine größere Zahl ersetzt werden \textit{(Hurwitz).} Mit Hülfe dieses Satzes und eines andern, der in \textit{Borel}s Lehre vom Maß (mesure) einer linearen Punktmenge eine fundamentale Rolle spielt, ergibt sich folgendes Resultat: Wenn man alle Zahlen \(\alpha\) eines endlichen Intervalls betrachtet, so läßt sich auf unendlich viele Arten unter den ganzzahligen Paaren \(p, q\) ein \textit{endliches} System derart herausgreifen, daß jedes \(\alpha\) im Innern eines der Intervalle \(\left(\frac pq-\frac{1}{q^2 \sqrt 5},\;\frac pq+\frac{1}{q^2 \sqrt 5} \right)\) liegt, welche jenen herausgegriffenen Paaren entsprechen. Verf. hat einen Weg gefunden, um diesen Satz direkt zu beweisen und die Systeme von Zahlenpaaren, von denen darin die Rede ist, \textit{wirklich zu bestimmen.} Er gelangt zu dem folgenden Theorem: \(\alpha\) sei eine beliebige reelle Zahl; ferner seien \(A\) und \(B\) reelle Zahlen, die den Relationen \[ 1<A,\quad B>15 A^2 \] genügen. Man kann alsdann \(p\) und \(q\) als ganze Zahlen derart bestimmen, daß man hat: \[ \left| \frac pq - \alpha \right| < \frac{1}{q^2\sqrt 5} ,\quad A<q<B. \] Es gibt einen Satz von \textit{Hermite} über die simultane Approximation mehrerer Zahlen \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n\) durch Brüche mit gemeinsamem Nenner. Nach diesem Satze lassen sich die ganzen Zahlen \(p_1,p_2,\dots,p_n,q\) immer so bestimmen, daß die Ungleichungen bestehen \[ \left| \alpha_i - \frac{p_i}{q} \right| < \frac{A}{q^a} \quad (i=1,2,\dots,n). \] Dabei sind \(A\) und \(a\) nur von \(n\) abhängig. Bei \textit{Hermite} ist \(a=\frac{n+1}{n}\), und \textit{Borel} hat gezeigt, daß es unmöglich ist, für \(a\) einen größeren Wert zu wählen. Für \(A\) hat \textit{Minkowski} einen vorteilhafteren Wert als \textit{Hermite} angegeben. Es läßt sich nun aus diesem Theorem von \textit{Hermite} eine ähnliche Folgerung ziehen, wie aus dem zu Anfang dieses Referats angegebenen Satze. Dabei hat man sich auf einen allgemeinen \textit{Borel}schen Satz aus der Lehre vom Maß der Punktmengen in höheren Räumen zu stützen.