Zur Theorie der \textit{Euler}schen und \textit{Bernoulli}schen Zahlen. (Q1504138)

Um Beziehungen zwischen gewissen Größen abzuleiten, hat sich bekanntlich das Verfahren, eine und dieselbe auf verschiedenen Wegen durch trigonometrische Reihen darzustellen und die verschiedenen Entwicklungen miteinander zu vergleichen, als äußerst fruchtbar erwiesen; es sei nur an die elegante \textit{Hermite}sche Ableitung der \textit{Kronecker}schen Klassenanzahlrelationen quadratischer Formen erinnert. Dieses Verfahren benutzt der Verf. zur Ableitung der mannigfaltigen Rekursionsformeln, welche von zahlreichen Autoren für die \textit{Bernoulli}schen und \textit{Euler}schen Zahlen aufgestellt worden sind. Diese Formeln erscheinen hierbei als spezielle Fälle einiger allgemeinen, bisher noch nicht bekannten Beziehungen für die \textit{Bernoulli}schen Funktionen. Wie der Verf. weiter zeigt, läßt sich das obige Verfahren in gleicher fruchtbringender Weise aber auch auf die ultra-\textit{Bernoulli}schen und ultra-\textit{Euler}schen Zahlen anwenden, sowie auf diejenigen Größen, welche nach dem Vorgange von \textit{Berger} (Acta Math. \( 14\), 1890/1) als \textit{Bernoulli}sche Zahlen, welche zu einer Fundamentaldiskriminante \(\varDelta\) gehören, bezeichnet und als die Entwicklungskoeffizienten von \[ \frac{v}{e^v-1} \sum_{r=1}^{r=\varDelta-1} \left( \frac \varDelta r \right) e^{\frac{rv}{\varDelta}} \] nach Potenzen von \(v\) definiert werden.