Einige Bemerkungen über \textit{Bessel}sche Funktionen. (Q1504197)

1. Für die \textit{Bessel}schen Funktionen, deren Index ein ungerades Vielfaches von \(\frac 12\) oder \(-\frac 12\) ist, werden folgende Darstellungen abgeleitet: \[ \begin{aligned} & J_{n-\frac 12}(x)=(-x)^n \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \left(\frac 1x\;\frac{d}{dx} \right)^n \cos x, \\ & J_{-n-\frac 12}(x)=(-x)^{-n} \sqrt{\frac{2}{\pi x}} \left(\frac 1x\;\frac{d}{dx} \right)^n \cos x. \end{aligned} \] Die erste dieser Formeln ergibt sich folgendermaßen. Macht man in der Gleichung \[ \frac{d^2v}{dz^2}+v=0 \] die Substitution \(x^2=2z\), differenziert dann \(n\)-mal nach \(z\) und setzt \[ \frac{d^nv}{dz^n}=u, \] so erhält man für \(u\) eine Differentialgleichung die genau dieselbe Form hat wie die Gleichung, der \(J_{n-\frac 12}(x):x^{n-\frac 12}\) genügt. Da \(v=A \cos x+B \sin x\) ist, so erhält man nach Bestimmung der Konstanten \(A,B\) die erste der obigen Relationen. 2. Für den Wert, den \(J_a(z)\) \((a > -\frac 12)\) auf dem unendlich großen Kreise annimmt, nämlich \[ J_a(z)=\sqrt{\frac{2}{\pi z}}\;\cos \left[z-(a+\frac 12)\frac{\pi}{2} \right], \] wird eine neue Ableitung gegeben, die auf einer Transformation der Integraldarstellung von \(J_a(z)\) und Reihenentwicklung des Integrals beruht. 3. Wendet man das \textit{Cauchy}sche Theorem \[ \frac{1}{2\pi i} \int_\varrho f(t)dt=\sum R, \] wo \(R\) die Residuen der Pole von \(f(t)\) sind, auf die Funktion \[ f(t)=\frac{J_{a+1}(t)}{(t-z)J_a(t)} \] und den Kreis \(\varrho=\infty\) an, so ergibt sich mittels des Ausdruckes in 2. für \(J_a(z)\), daß jenes Integral verschwindet. Die Summe der Residuen aber läßt sich leicht berechnen, und daraus folgt die bekannte Formel \[ \frac{J_{a+1}(z)}{J_a(z)}=2z \sum_1^\infty \frac{1}{\beta_m^2-z^2}\,, \] wo \(\beta_m\) und \(- \beta_m\) die von Null verschiedenen Wurzeln der Gleichung \(J_a(z)=0\) bezeichnen; für diese Formel ist damit ein neuer Beweis gegeben.