Über den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck. (Q1504205)

Verf. untersucht die Stellung des Satzes von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck in der ebenen euklidischen Geometrie. Zu diesem Zwecke wird, nachdem die ebenen Axiome der Verknüpfung, Anordnung, der Parallelen und die ersten fünf Axiome der Kongruenz aus des Verf. Grundl. d. Geom. (s. F. d. M. \( 30\), 424, JFM 30.0424.01) aufgeführt sind, das sechste Kongruenzaxiom in der veränderten Fassung ausgesprochen, daß\ nur in zwei Dreiecken mit gleichem Umlaufsinn, bei denen zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel resp. kongruent sind, auch die übrigen Winkel resp. kongruent sein sollen. Es ist dann unmöglich, in der gewöhnlichen Weise den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck abzuleiten. Führt man dann neben dem Archimedischen Axiom der Stetigkeit noch das Axiom der Nachbarschaft ein (zu jeder Strecke gibt es ein Dreieck, in dessen Innerem keine dieser Strecke kongruente Strecke sich finden läßt), so ergeben sich folgende Sätze: Auf Grund aller Axiome folgt auch der allgemeine erste Kongruenzsatz und der Satz von den Basiswinkeln, dagegen nicht, wenn man eins der beiden Stetigkeitsaxiome wegläßt. Läßt man das Archimedische Axiom weg, so ergibt das gewünschte Resultat die vom Verf. konstruierte erste nicht-pythagoreische Geometrie. In dieser gilt die Proportionenlehre und auch der Pythagoreische Lehrsatz in der Form, daß\ das Quadrat über der Hypotenuse inhaltsgleich ist mit der Summe der Quadrate über den Katheten; dagegen nicht die entsprechende Beziehung zwischen den drei Seiten selbst. Es gilt ferner nicht der Satz, daß\ die Summe zweier Seiten größer ist als die dritte, ein Satz, der unmittelbar aus dem Satz von den Basiswinkeln folgt. In einer zweiten nicht-pythagoreischen Geometrie gilt das Archimedische Axiom, aber nicht das Axiom der Nachbarschaft, und, wie weiter gezeigt wird auch nicht der Satz von den Basiswinkeln. Es sei hier erwähnt, daß\ der Verf. bei dem Abdruck dieser Arbeit in der zweiten Auflage der ``Grundlagen'' (Referat vorstehend (JFM 34.0523.01)) noch den Zusatz gegeben hat, daß\ der Satz von den Basiswinkeln ableitbar ist, wenn man zu den sechs übrigen Kongruenzaxiomen noch das siebente hinzufügt: ``Ein Polygon ist niemals mit einem Polygone zerlegungsgleich, dessen Begrenzung innere Punkte, jedoch keine äußeren Punkte des ersteren Polygons enthält.