Overlapping intervals. (Q1504230)

(Siehe auch JFM 34.0530.05 u. JFM 34.0530.06) Sei \(G_i\) eine abgeschlossene Menge, deren sämtliche Punkte in \(G_{i+1}\) enthalten sind, und sei \(G\) die Menge, die aus den Punkten aller Mengen \(G_{i+1}\) besteht. Ist dann \(G\) auch abgeschlossen, dann gilt der Satz: ``Zu jeder beliebig kleinen positiven Zahl \(\sigma\) können wir eine ganze Zahl \(m\) und eine Zahl \(\varepsilon\) so finden, daß\ für alle \(n \geqq m\) alle punktfreien Intervalle \(\geqq \varepsilon\) von \(G_n\) identisch sind mit allen punktfreien Intervallen \(\geqq \varepsilon\) von \(G\), und die Summe der übrigen punktfreien Intervalle von \(G_n\) ist \(<\sigma\).'' Bei dem in der ersten Arbeit gegebenen Beweis für diesen Satz wird ein Irrtum in dem \textit{Schoenflies}schen Bericht (s. F. d. M. \( 31\), 70, 1900, JFM 31.0070.08) (\(G\) nicht abgeschlossen) richtig gestellt. -- In der Note wird die Verallgemeinerung des Satzes gegeben, wo für das nicht abgeschlossene \(G \varGamma= (G, G')\) tritt (\(G'\) ist die derivierte Menge zu \(G\)). In der dritten Arbeit wird der Satz bewiesen: Für jede abgeschlossene Menge von Punkten und eine solche Intervallmenge, daß\ jeder Punkt der ersten Menge mindestens in einem der Intervalle dieser Menge liegt, gibt es eine endliche Menge von Intervallen der Menge mit derselben Eigenschaft.