Application de la géométrie cayleyenne à l'étude géométrique du déplacement d'un solide autour d'un point fixe. (Q1504243)

Man betrachte im \textit{Euklid}ischen Raum zwei dreifach rechtwinklige Trieder \(T_1\) und \(T\) mit gemeinsamem Scheitel. Man bestimme das als beweglich gedachte \(T\) in seiner Lage relativ zu \(T_1\) mit Hülfe der \(T\) in \(T_1\) überführenden Rotationsachse durch die Koordinaten \(\lambda,\mu,\nu,\varrho\), wo \(\lambda^2+\mu^2+\nu^2+\varrho^2=1\) und z. B. \(\lambda=\alpha \sin \frac \theta 2\) ist (\(\alpha\) Richtungskosinus für Rotationsachse und eine Kante von \(T_1\) (resp. \(T\)), \(\theta\) Rotationswinkel). Ersetzen wir \(T\) durch ein fest mit ihm verbundenes Trieder \(T'\), so ergibt sich eine Transformation der \(\lambda,\mu,\nu,\varrho\), welche die Gleichung \(\lambda^2+\mu^2+\nu^2+\varrho^2=0\) ungeändert läßt. Daraus ergibt sich: Jeder Bewegung eines Körpers \(\varSigma\) um einen festen Punkt \(O\) in einem festen Raum \(\varSigma_1\) entsprechen im \textit{Cayley}schen Raume der \(\lambda,\mu,\nu,\varrho\) (also etwa auf der Hypersphäre \(\lambda^2+\mu^2+\nu^2+\varrho^2=1\)) je nach der Wahl der Bezugstrieder für \(\varSigma\) und \(\varSigma_1\) unendlich viele verschiedene Figuren, die auseinander durch eine ``Bewegung'' des \((\lambda,\mu,\nu,\varrho)\)-Raumes hervorgehen, wenn man diesem als ``absolutes Gebilde'' die Gleichung \(\lambda^2+\mu^2+\nu^2+\varrho^2=0\) zugrunde legt. Für diesen Satz werden Beispiele gegeben: Eine Gerade im \(C\)-Raume ist das Bild für die Rotation um eine feste Achse, eine ebene Kurve für die Bewegung, die durch das Abrollen eines Kegels auf einen ihm kongruenten erzeugt wird, wobei stets homologe Geraden zusammenfallen, usw. Es wird die Bedeutung der ``infinitesimalen'' Eigenschaften der Bilder für die entsprechende Bewegung erörtert, zu welchem Zwecke Verf. eine Erörterung dieser Eigenschaften, also Tangente, Krümmung, Torsion usw. im ersten Kapitel im Anschluß\ an \textit{Darboux} vorangehen läßt.